Метрический тензор

Не следует путать с метрическим пространством — множеством, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах [math]\displaystyle{ x^1,x^2,\dots,x^n }[/math], обычно задаётся как ковариантное тензорное поле [math]\displaystyle{ g_{ij}\ }[/math]. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей [math]\displaystyle{ \partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left\langle\partial_i,\partial_j\right\rangle=g_{ij}. }[/math]

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ \left\langle v,w\right\rangle=g_{ij}v^iw^j }[/math],

где [math]\displaystyle{ v=v^i\partial_i\ , w=w^i\partial_i }[/math] — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора [math]\displaystyle{ g^{ij} }[/math].

В случае невырожденных метрик

[math]\displaystyle{ g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta^i_k }[/math] — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор [math]\displaystyle{ g^{ij} }[/math], но тензор [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля [math]\displaystyle{ \{e_i(p)\} }[/math] и матрицы [math]\displaystyle{ g_{ik}(p) = \langle e_i(p), e_k(p)\rangle }[/math].

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов.

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением [math]\displaystyle{ r }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] в евклидово пространство [math]\displaystyle{ E }[/math], может быть посчитана по формуле:

[math]\displaystyle{ g = J_r^T J_r, }[/math]

где [math]\displaystyle{ J_r }[/math] означает матрицу Якоби вложения [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ J^T_r }[/math] — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x_i} }[/math], которые в этом случае можно отождествить с [math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial x_i} }[/math], определяются как

[math]\displaystyle{ g_{ij}=g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)= \left\langle\frac{\partial r}{\partial x_i},\frac{\partial r}{\partial x_j}\right\rangle, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle*,*\rangle }[/math] обозначает скалярное произведение в [math]\displaystyle{ E }[/math].

Более обобщенно

Пусть [math]\displaystyle{ (N,h) }[/math] многообразие с метрикой и [math]\displaystyle{ r:M\to N }[/math] гладкое вложение. Тогда метрика [math]\displaystyle{ g }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math], определённая равенством

[math]\displaystyle{ g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y)) }[/math]

называется индуцированной метрикой. Здесь [math]\displaystyle{ dr }[/math] обозначает дифференциал отображения [math]\displaystyle{ r }[/math].

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров [math]\displaystyle{ g }[/math] подразделяется на два класса:

• невырожденные или псевдоримановы метрики, когда [math]\displaystyle{ \ \det(g_{ij}) \neq 0 }[/math] во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
  • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
  • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
    • К этому классу относится метрика Лоренца.
• Вырожденные метрики, когда [math]\displaystyle{ \ \det(g_{ij}) = 0 }[/math] либо [math]\displaystyle{ \ \det(g^{ij}) = 0 }[/math] в некоторых точках.
  • Многообразие [math]\displaystyle{ M^n }[/math], метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
  • Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

• Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
• Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
• Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
• Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

• Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
• Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
• Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора [math]\displaystyle{ |\det \{g_{ij}\}| }[/math] дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина [math]\displaystyle{ \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|} }[/math] играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, [math]\displaystyle{ \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|} }[/math] входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

[math]\displaystyle{ S = \int s(x)\,d\Omega = \int s(x) \sqrt{|\det \{g_{ij}\}|}\,dx^1\,dx^2\,\ldots\,dx^n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ d\Omega }[/math] — это элемент [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного объема, а [math]\displaystyle{ dx^i }[/math] — дифференциалы координат.

• Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

• Метрический тензор на евклидовой плоскости:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    [math]\displaystyle{ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij} }[/math]

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В полярных координатах: [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]

    [math]\displaystyle{ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \ }[/math]

• Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах [math]\displaystyle{ (\theta,\varphi) }[/math] метрика принимает вид:

  [math]\displaystyle{ g = \begin{bmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}. }[/math]

• Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    [math]\displaystyle{ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\ \ g_{ij}=\delta_{ij} }[/math]

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В сферических координатах: [math]\displaystyle{ (r,\theta,\phi) }[/math]:

    [math]\displaystyle{ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}. }[/math]

• Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
• Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть [math]\displaystyle{ v \in T_p M }[/math] — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора [math]\displaystyle{ g }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math], мы получаем, что [math]\displaystyle{ g(v,\cdot) }[/math], то есть отображение, которое переводит другой вектор [math]\displaystyle{ w \in T_p M }[/math] в число [math]\displaystyle{ g(v,w) }[/math], является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) [math]\displaystyle{ T_p^*M }[/math]. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что [math]\displaystyle{ g }[/math] сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

[math]\displaystyle{ \ g_{ij}v^j = v_i }[/math] — опускание индекса для вектора,

[math]\displaystyle{ \ g^{ij}v_j = v^i }[/math] — поднятие индекса для вектора,

[math]\displaystyle{ \ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs} = T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs} }[/math] — пример одновременного поднятия индекса [math]\displaystyle{ j }[/math] и опускания индекса [math]\displaystyle{ n }[/math] для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

• Тензор кривизны
• Ковариантная производная
• Метрическое пространство