Символы Кристоффеля

Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются [math]\displaystyle{ \Gamma_{ij}^k }[/math]; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется символ [math]\displaystyle{ \{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}. }[/math]

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

История

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча

Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние [math]\displaystyle{ {r} }[/math] от неё до полюса и угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: [math]\displaystyle{ ({\rm d} r,\,{\rm d}\varphi) }[/math].

Пусть есть вектор [math]\displaystyle{ \boldsymbol A }[/math] с компонентами [math]\displaystyle{ (a,\,\alpha) }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] имеет геометрический смысл проекции вектора [math]\displaystyle{ \boldsymbol A }[/math] на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние [math]\displaystyle{ {\rm d}r }[/math], его компонента [math]\displaystyle{ a }[/math], очевидно, не меняется, но вторая его координата ([math]\displaystyle{ \alpha }[/math]) уменьшается (рис. 1). Величина вектора [math]\displaystyle{ |A|^2= a^2 + r^2\alpha^2 }[/math] остаётся неизменной, поэтому [math]\displaystyle{ a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2 }[/math]. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

[math]\displaystyle{ {\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r. }[/math]

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] (рис. 2). Очевидно, [math]\displaystyle{ \alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda }[/math], [math]\displaystyle{ a=A\cos\lambda }[/math], и [math]\displaystyle{ {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi }[/math] поэтому:

[math]\displaystyle{ {\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi. }[/math]

Кроме этого, так как [math]\displaystyle{ a=A\cos\lambda }[/math], [math]\displaystyle{ {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi }[/math], и [math]\displaystyle{ A\sin\lambda=r\alpha }[/math], то

[math]\displaystyle{ {\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi. }[/math]

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и [math]\displaystyle{ r }[/math], и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) изменения компонент надо складывать:

[math]\displaystyle{ {\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi. }[/math] [math]\displaystyle{ {\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi. }[/math]

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях [math]\displaystyle{ x^1=r }[/math], [math]\displaystyle{ x^2=\varphi }[/math], [math]\displaystyle{ {A^1=a} }[/math] и [math]\displaystyle{ A^2=\alpha }[/math] можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

[math]\displaystyle{ {\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l. }[/math]

Здесь символы Кристоффеля [math]\displaystyle{ {\Gamma^1_{22}=-r} }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r }[/math], а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода [math]\displaystyle{ \Gamma^{k}_{ij} }[/math] можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов [math]\displaystyle{ \partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i} }[/math] по базису:

[math]\displaystyle{ \nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k. }[/math]

Символы Кристоффеля первого рода [math]\displaystyle{ \Gamma^{}_{n,ij} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right). }[/math]

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты [math]\displaystyle{ x^i }[/math] могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

[math]\displaystyle{ \Gamma^i {}_{jk} = \Gamma^i {}_{kj}, }[/math]

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{ik} }[/math] равна нулю:

[math]\displaystyle{ 0=\nabla_\ell g_{ik} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell} - g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}. }[/math]

Для сокращения записи символ набла [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

[math]\displaystyle{ 0=g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. }[/math]

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

[math]\displaystyle{ \Gamma^i {}_{k\ell}= \frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = \frac12 g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ g^{ij} }[/math] — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math], находится путём решения системы линейных уравнений [math]\displaystyle{ g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k }[/math].

Инвариантные обозначения

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами [math]\displaystyle{ X^i }[/math] и [math]\displaystyle{ Y^k }[/math]. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

[math]\displaystyle{ \left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right). }[/math]

Условие отсутствия кручения у связности:

[math]\displaystyle{ \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y] }[/math]

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

[math]\displaystyle{ \Gamma^i {}_{jk} = \Gamma^i {}_{kj}. }[/math]

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных [math]\displaystyle{ (x^1, \dots ,x^n)\ }[/math] на [math]\displaystyle{ (y^1, \dots ,y^n) }[/math] базисные векторы преобразуются ковариантно:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}, }[/math]

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

[math]\displaystyle{ {\bar\Gamma^k {}_{ij}} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^r}\, \frac{\partial^2 x^r}{\partial y^i \partial y^j}. }[/math]

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) [math]\displaystyle{ H_\beta }[/math], а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

[math]\displaystyle{ \Gamma_{\beta\beta,\gamma} = -H_\beta H_\gamma \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma} }[/math] при [math]\displaystyle{ \beta \neq \gamma, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma_{\beta\gamma,\beta} = H_\beta \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}. }[/math]

Символы Кристоффеля второго рода:

[math]\displaystyle{ \Gamma^\gamma_{\beta\beta} = -\frac{H_\beta}{H_\gamma^2} \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma} }[/math] при [math]\displaystyle{ \beta \neq \gamma, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma^\beta_{\beta\gamma} = \Gamma^\beta_{\gamma\beta} = \frac{1}{H_\beta} \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}. }[/math]

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат [math]\displaystyle{ \{x, y, z\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Gamma^k_{ij} \equiv 0 }[/math], поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат [math]\displaystyle{ \{r, \phi, z\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Gamma^1_{22} = -r }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^2_{21} = \Gamma^2_{12} = \frac{1}{r} }[/math]. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат [math]\displaystyle{ \{r, \theta, \phi\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \Gamma^1_{22} = -r }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^1_{33} = -r \sin^2\theta }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^2_{21} = \Gamma^2_{12} = \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r} }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^2_{33} = -\cos\theta \sin\theta }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \operatorname{ctg}\theta }[/math]. Остальные равны нулю.

Вариации и обобщения

Разница двух аффинных связностей

[math]\displaystyle{ \Gamma_XY=\nabla_XY-\tilde\nabla_XY }[/math]

является тензором. В случае если [math]\displaystyle{ \tilde\nabla }[/math] определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели [math]\displaystyle{ \Gamma^i_{jk} }[/math] являются компонентами полученного тензора [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

[math]\displaystyle{ \Gamma_XY=\Gamma_YX }[/math].

Можно выбрать другую базовую связность [math]\displaystyle{ \tilde\nabla }[/math]. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность [math]\displaystyle{ \tilde\nabla }[/math] может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря [math]\displaystyle{ \Gamma_XY\ne\Gamma_YX }[/math]. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

[math]\displaystyle{ \langle \Gamma_XY,Z\rangle+\langle Y,\Gamma_XZ\rangle=0 }[/math].

Иначе говоря [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] является 1-формой на многообразии со значениями [math]\displaystyle{ \Gamma_X }[/math] в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

См. также

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

Литература

• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.

• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

• Чернавский А. В. Дифференциальная геометрия, 2 курс.