Первая квадратичная форма
Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{I} }[/math].
Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.
Определение
Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math] поверхность задана уравнением [math]\displaystyle{ r = r (u, v), }[/math] где [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] ― внутренние координаты на поверхности; [math]\displaystyle{ dr= r_u du + r_v dv }[/math] ― дифференциал радиус-вектора [math]\displaystyle{ r }[/math] вдоль выбранного направления смещения из точки [math]\displaystyle{ M }[/math] в бесконечно близкую точку [math]\displaystyle{ M' }[/math]. (Здесь [math]\displaystyle{ r_u }[/math] и [math]\displaystyle{ r_v }[/math] — частные производные радиус-вектора [math]\displaystyle{ r }[/math] по [math]\displaystyle{ u }[/math] и по [math]\displaystyle{ v }[/math] соответственно.) Тогда квадрат главной части приращения длины [math]\displaystyle{ |MM'| }[/math] выражается квадратом дифференциала [math]\displaystyle{ dr }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{I} = (dr)^2 = \langle r_u, r_u\rangle du^2+2\langle r_u, r_v\rangle du dv + \langle r_v, r_v\rangle dv^2 }[/math]
и называется первой квадратичной формой поверхности.
Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через
- [math]\displaystyle{ E =|r_u|^2, \ F = \langle r_u, r_v\rangle, \ G=|r_v|^2 }[/math]
или, в тензорных символах,
- [math]\displaystyle{ \mathrm{I} = dr^2 = g_{1,1}du^2+2g_{1,2} du dv+g_{2,2}dv^2. }[/math]
Тензор [math]\displaystyle{ g_{i,j} }[/math] называется основным, или метрическим, тензором поверхности.
Свойства
- Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности; в частности
- [math]\displaystyle{ EG - F^2 \gt 0. }[/math]
См. также
Литература
- Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
- Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.