SO(8)

SO(8) — специальная ортогональная группа восьмимерного евклидова пространства.

Свойства

• SO(8) — вещественная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.
• SO(8), как и все специальные ортогональные группы при [math]\displaystyle{ n \gt 2 }[/math], неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z₂.
  • универсальное накрытие SO(8) — спинорная группа Spin(8).
• центр SO(8) изоморфен Z₂, он включает две матрицы {±I} (как и для SO(n) при 2n > 2).
  • Центр Spin(8) изоморфен Z₂×Z₂ (как и для всех Spin(4n), 4n > 0).

Диаграмма Дынкина SO(8), (D₄)

• SO(8) занимает особое место среди простых групп Ли, поскольку её диаграмма Дынкина (смотри рисунок) (D₄) имеет трёхкратные симметрии. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты:
  • Два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное).
  • Тройственный автоморфизм Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна симметрической группы S₃, она переставляет эти три представления.
  • Группа автоморфизмов действует на центре Z₂ х Z₂ (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S₃, которые могут также рассматриваться как общая линейная группа над конечным полем из двух элементов, S₃ ≅GL(2,2)).
• Группа Вейля SO(8) имеет 4!×8=192 элементов.
• Система корней SO(8):

  [math]\displaystyle{ (\pm 1,0,0,\pm 1) }[/math]

  [math]\displaystyle{ (0,\pm 1,\pm 1,0) }[/math]

  [math]\displaystyle{ (0,\pm 1,0,\pm 1) }[/math]

  [math]\displaystyle{ (0,0,\pm 1,\pm 1) }[/math]

  [math]\displaystyle{ (0,\pm 1,0,\pm 1) }[/math]

  [math]\displaystyle{ (0,0,\pm 1,\pm 1) }[/math]

• Матрица Картана SO(8):

  [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }[/math]

Вариации и обобщения

Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как полупрямое произведение: Aut((Spin(8)) ≅ Spin(8) ⋊ S₃.

См. также

• Октонионы
• алгебра Клиффорда

Ссылки

• Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7 
• Chevalley, Claude (1997), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, vol. 2, Collected works, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2  (originally published in 1954 by Columbia University Press)
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, vol. 50, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55177-3