Система корней

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым [math]\displaystyle{ (\cdot,\;\cdot) }[/math]. Система корней в [math]\displaystyle{ V }[/math] — это конечное множество [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} }[/math] заставляет [math]\displaystyle{ \scriptstyle\beta }[/math] лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для [math]\displaystyle{ \scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle} }[/math] сводит возможные углы между [math]\displaystyle{ \scriptstyle\alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \scriptstyle\beta }[/math] не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

[math]\displaystyle{ V }[/math] является линейной оболочкой системы корней.
Если два корня [math]\displaystyle{ \alpha \in \Phi }[/math], [math]\displaystyle{ \beta \in \Phi }[/math] являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо [math]\displaystyle{ \beta = -\alpha. }[/math]
Для каждого корня [math]\displaystyle{ \alpha \in \Phi }[/math] множество [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math] То есть для любых двух корней [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] множество [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] содержит отражение [math]\displaystyle{ \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi. }[/math]
(Целостное условие). Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — корни в [math]\displaystyle{ \Phi, }[/math] то проекция [math]\displaystyle{ \beta }[/math] на прямую, проходящую через [math]\displaystyle{ \alpha, }[/math] есть полуцелое, кратное [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math] То есть
[math]\displaystyle{ \langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}. }[/math]

Замечания

С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между [math]\displaystyle{ \beta }[/math] и его отражением [math]\displaystyle{ \sigma_\alpha(\beta) }[/math] равна корню [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], умноженному на некоторое целое число.
Оператор
[math]\displaystyle{ \langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z} }[/math],

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность [math]\displaystyle{ V }[/math] называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по схемам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов [math]\displaystyle{ \{\alpha,\;-\alpha\}. }[/math] Эта система называется [math]\displaystyle{ A_1. }[/math]

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта [math]\displaystyle{ \sigma_\alpha(\beta)=\beta+n\alpha, }[/math] где [math]\displaystyle{ n=0,\;1,\;2,\;3. }[/math]

**Система корней ранга 2**
$Система корней [math]\displaystyle{ \scriptstyle{A_1\times A_1}. }[/math]$	$Система корней [math]\displaystyle{ \scriptstyle{A_2}. }[/math]$
Система корней [math]\displaystyle{ A_1\times A_1 }[/math]	Система корней [math]\displaystyle{ A_2 }[/math]
$Система корней [math]\displaystyle{ \scriptstyle{B_2}. }[/math]$	$Система корней [math]\displaystyle{ \scriptstyle{G_2}. }[/math]$
Система корней [math]\displaystyle{ B_2 }[/math]	Система корней [math]\displaystyle{ G_2 }[/math]

См. также

E8 (математика)

Ссылки

Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127.
Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352.
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.