Фазовое пространство
Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — то есть её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (следует отметить, что она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.[A: 1][1]
Концепция фазового пространства была разработана в конце XIX века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом.[A: 2]
Общие положения
Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.
Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.
Фазовые траектории
При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — то есть кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».[2]
Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».[3]
Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:
- либо одним уравнением — в координатной форме, то есть при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
- либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная [math]\displaystyle{ t }[/math], время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.[4]
Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением [math]\displaystyle{ \ddot x = f(x) }[/math]: в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.[4]
Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от [math]\displaystyle{ t = -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ t = +\infty }[/math]).[3]
Фазовый портрет
Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.[3] Его можно рассматривать как интегральное многообразие.[A: 3]
Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.[A: 1]
Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.[4]
Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.[A: 1]
Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют[4] на исследование характера движений системы:
- вблизи состояний равновесия,
- на всей фазовой плоскости.
При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.[4]
Фазовая скорость
Фазовая скорость — это скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.[4]
Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.[3]
К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением [math]\displaystyle{ \ddot x = f(x) }[/math], скорость изображающей точки вычисляется как:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = \mathbf{i} y + \mathbf{j} f(x) }[/math]
и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:
- [math]\displaystyle{ v = \frac{ds}{dt} = \sqrt { \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt {y^2 + \left[f(x)\right]^2} }[/math],
где:
- [math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = y }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dt} = f(x) }[/math].
Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.[A: 1]
Особенности систем разного типа
Механические системы
В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство чётной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.[5]
Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.
Термодинамика и статистическая механика
В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. д.
 | Этот раздел не завершён. |
Динамические системы
В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика в нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.[источник не указан 2563 дня]
Случай нескольких систем
Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объём) заключённого в ней фазового пространства сохраняется во времени.[источник не указан 2563 дня]
Примеры
Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.[B: 1][B: 2] Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.[A: 1]
Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона.[источник не указан 5131 день] (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)
Гармонический осциллятор
Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:
- [math]\displaystyle{ \ddot x + \omega_0^2 x = 0. }[/math]
Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае [math]\displaystyle{ x_0 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \dot x_0 = 0 }[/math], то есть когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.[3]
Квантовый осциллятор
Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределённостей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.[A: 4] Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.
Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.[A: 5] Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.
Теория хаоса
Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:
- Аттрактор Лоренца
- Рост населения (то есть логистическое отображение)
- Параметрическая плоскость комплексных квадратичных многочленов с множеством Мандельброта.
Оптика
Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике,[B: 3] — ответвление оптики, посвящённое освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике.
См. также
Примечания
- ↑ Андронов, 1981, с. 38—41.
- ↑ 2,0 2,1 Андронов, 1981, Введение, с. 15—34.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, с. 35—102.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 Андронов, 1981, Глава II. Консервативные нелинейные системы, с. 103—167.
- ↑ В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5-290.
Литература
- Книги
- ↑ Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
- ↑ Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. — М.: Атомиздат, 1972. — 304 с.
- ↑ Julio Chaves. Introduction to Nonimaging Optics (англ.). — Second Edition. — CRC Press, 2015. — 786 p. — ISBN 978-1482206739. Архивная копия от 18 февраля 2016 на Wayback Machine
- Статьи
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Фейгин М.И. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы // Соросовский образовательный журнал : журнал. — 2001. — Т. 7, № 3. — С. 121—127. Архивировано 30 ноября 2007 года.
- ↑ Nolte, D. D. The tangled tale of phase space (англ.) // Physics Today : журнал. — 2010. — Vol. 63, no. 4. — P. 31–33. — doi:10.1063/1.3397041.
- ↑ Neishtadt, Anatoly. On stability loss delay for dynamical bifurcation (англ.) // Discrete and Continuous Dymanical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Vol. 2, no. 4. — P. 897—909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897.
- ↑ Кузнецов Д., Ройлих Д. Квантовый шум при отображении фазового пространства // Оптика и Спектроскопия : журнал. — 1997. — Т. 82, № 6. — С. 990—995.
- ↑ Широков Ю. М. Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства // ЭЧАЯ : журнал. — 1979. — Т. 10, № 1. — С. 5–50.
Ссылки
- Определения этого понятия см. также в словарях:
- Большая советская энциклопедия.
- Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- Физическая энциклопедия.
- Экономико-математический словарь.
- В интернет-портале «Физическая энциклопедия» см. статьи, уточняющие понятие ф.п. в статистической физике и ф.п. в теории динамических систем.
- State space В Scholarpedia.org (англ.)