Теорема Рауса — Гурвица

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица^[1].

Условные обозначения

Пусть [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени [math]\displaystyle{ n }[/math]. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии [math]\displaystyle{ z=ic }[/math] где [math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица и [math]\displaystyle{ c }[/math] — вещественное число). Давайте обозначим [math]\displaystyle{ P_0(y) }[/math] (многочлен степени [math]\displaystyle{ n }[/math]) и [math]\displaystyle{ P_1(y) }[/math] (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем [math]\displaystyle{ n }[/math]) через [math]\displaystyle{ f(iy)=P_0(y)+iP_1(y) }[/math], относительно вещественной и мнимой части [math]\displaystyle{ f }[/math] мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ p }[/math] — число корней [math]\displaystyle{ f }[/math] в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
[math]\displaystyle{ q }[/math] — число корней [math]\displaystyle{ f }[/math] в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
[math]\displaystyle{ \Delta\arg f(iy) }[/math] — изменение аргумента [math]\displaystyle{ f(iy) }[/math], когда [math]\displaystyle{ y }[/math] пробегает от [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math];
[math]\displaystyle{ w(x) }[/math] — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из [math]\displaystyle{ P_0(y) }[/math] и [math]\displaystyle{ P_1(y) }[/math] с помощью алгоритма Евклида;

[math]\displaystyle{ I_{-\infty}^{+\infty} r(x) }[/math] — индекс Коши рациональной функции [math]\displaystyle{ r(x) }[/math] на вещественной прямой.

Пусть [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. [math]\displaystyle{ f }[/math] он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим [math]\displaystyle{ f }[/math] в сумму:

[math]\displaystyle{ f(z)=g(z^2)+zh(z) }[/math].

Обозначим коэффициенты [math]\displaystyle{ g }[/math] как [math]\displaystyle{ a_j^0 }[/math], а [math]\displaystyle{ h }[/math] — как [math]\displaystyle{ a_j^1 }[/math]. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена [math]\displaystyle{ g }[/math] является [math]\displaystyle{ a_0^0 }[/math].

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

[math]\displaystyle{ p-q=\frac{1}{\pi}\Delta\arg f(iy)=-I_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\infty)-w(-\infty). }[/math]

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента [math]\displaystyle{ f(iy) }[/math] положительно, тогда [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство [math]\displaystyle{ p-q=w(+\infty)-w(-\infty) }[/math] может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть [math]\displaystyle{ p+q }[/math], а [math]\displaystyle{ w }[/math] из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае [math]\displaystyle{ w }[/math] относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

[math]\displaystyle{ H_f=\begin{pmatrix}a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} & &\\ a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} & &\\ & a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} &\\ & a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} &\\ & \vdots & & & \vdots &\\ & & & & \dots & a_n \end{pmatrix}, }[/math]

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если [math]\displaystyle{ f }[/math] — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math], определяет последовательность [math]\displaystyle{ a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n }[/math] ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если [math]\displaystyle{ f }[/math] — многочлен Гурвица, и наоборот.

Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
Обратите также внимание, что в записи [math]\displaystyle{ a_0^i }[/math] число [math]\displaystyle{ i }[/math] — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице [math]\displaystyle{ H_f }[/math], мы получим диагональную матрицу [math]\displaystyle{ H_f^* }[/math]. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы [math]\displaystyle{ h_{j,j}^* }[/math] трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу [math]\displaystyle{ H_f }[/math], мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты [math]\displaystyle{ h^*_{j,j} }[/math] соответствуют коэффициентам [math]\displaystyle{ a_0^j }[/math], мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ p-q=n }[/math]. Таким образом получаем условия на коэффициенты [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], накладывая дополнительные условия [math]\displaystyle{ w(+\infty)=n }[/math] и [math]\displaystyle{ w(-\infty)=0 }[/math].

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

Примечания

↑ Постников, 1981, с. 15—16.

Литература

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Теорема Рауса-Гурвица (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_01abb9fb1f84fdb2-1] Постников, 1981, с. 15—16.

[1]