Критерий устойчивости Рауса

Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полинома.

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть [math]\displaystyle{ W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} }[/math] — передаточная функция системы, а [math]\displaystyle{ \ U(s) = 0 }[/math] — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином [math]\displaystyle{ \ U(s) }[/math] в виде

[math]\displaystyle{ \ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n }[/math]

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле: [math]\displaystyle{ \ c_{k,i} = c_{k+1,i-2} - r_i \cdot c_{k+1,i-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ r_i = \frac{c_{1,i-2}} {c_{1,i-1}}, i \ge 3 }[/math] — номер строки, [math]\displaystyle{ \ k }[/math] — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

[math]\displaystyle{ \ ri }[/math]	[math]\displaystyle{ \Downarrow i \Longrightarrow k }[/math]	1	2	3	4
-	1	[math]\displaystyle{ \ c_{1,1} = a_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ c_{2,1} = a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ c_{3,1} = a_4 }[/math]	...
-	2	[math]\displaystyle{ \ c_{1,2} = a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ c_{2,2} = a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ c_{3,2} = a_5 }[/math]	...
[math]\displaystyle{ r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}} }[/math]	3	[math]\displaystyle{ c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2} }[/math]	[math]\displaystyle{ c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2} }[/math]	[math]\displaystyle{ c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2} }[/math]	...
[math]\displaystyle{ r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}} }[/math]	4	[math]\displaystyle{ c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3} }[/math]	[math]\displaystyle{ c_{2,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3} }[/math]	[math]\displaystyle{ c_{3,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3} }[/math]	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса [math]\displaystyle{ \ c_{1,1}, c_{1,2}, c_{1,3}, ... }[/math] были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.

См. также

• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Теорема Эрмита — Билера
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.
• Чернецкий В. И.  Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4..