Совершенная группа

Эта статья о свойстве групп, связанном с автоморфизмами; о свойстве, связанном с извлечением корня см. делимая группа.

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа ― группа [math]\displaystyle{ G }[/math], такая что отображение [math]\displaystyle{ G \to Aut(G) }[/math] является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] в автоморфизм сопряжения [math]\displaystyle{ s_g: h \to ghg^{-1} }[/math]. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n \neq 2, 6 }[/math] (теорема Гёльдера); при этом группа [math]\displaystyle{ S_2=\mathbb Z_2 }[/math] имеет нетривиальный центр, а у группы [math]\displaystyle{ S_6 }[/math] существует внешний автоморфизм.

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой [math]\displaystyle{ G = Aut(G) }[/math], но которая не является совершенной, является группа диэдра [math]\displaystyle{ D_4 }[/math].

Литература

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

Ссылки

• Joel David Hamkins: How tall is the automorphism tower of a group?