Гномон (фигура)

Закрашенная фигура АEFGCB - Гномон, для DGFE

Гномон — геометрическая фигура, которая при соответствующем соединении с другой фигурой, образует фигуру, ей подобную.

Например, если взять параллелограмм [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] и построить подобный параллелограмм [math]\displaystyle{ DEFG }[/math]с общим углом [math]\displaystyle{ D }[/math], то фигура [math]\displaystyle{ ABCGFE }[/math] будет являться гномоном для фигуры [math]\displaystyle{ ABCD }[/math].

Гномон и фигурные числа

Пифагорейцы исследовали фигурные числа. Стало известно, что эти числа можно получить, добавив гномон к предыдущему фигурному числу.

Например, гномоном четырехугольного числа (квадрата) является нечетное число. Общий вид нечётного числа — [math]\displaystyle{ 2n +1 }[/math], число [math]\displaystyle{ n }[/math] может быть равно 1, 2, 3... Например, если рассмотреть квадрат 8 (он равен 64), то он будет выглядеть как таблица:

[math]\displaystyle{ 8^2 }[/math]= 64

8	8	8	8	8	8	8	8
8	7	7	7	7	7	7	7
8	7	6	6	6	6	6	6
8	7	6	5	5	5	5	5
8	7	6	5	4	4	4	4
8	7	6	5	4	3	3	3
8	7	6	5	4	3	2	2
8	7	6	5	4	3	2	1

Чтобы из таблицы, демонстрирующей квадрат числа [math]\displaystyle{ n }[/math], получить таблицу для демонстрации квадрата числа [math]\displaystyle{ n+1 }[/math], нужно добавить к таблице [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] дополнительные клетки: по одному числу слева от каждой строки, по одному числу сверху от каждого столбца и ещё одно число в угол. Например, чтобы из таблицы для семёрки получить таблицу для восьмёрки, нужно добавить к таблице 15 элементов. Число клеток (в данном примере 64) и является квадратом числа.

С помощью этого метода можно доказать, что сумма первых [math]\displaystyle{ n }[/math] нечетных чисел равна [math]\displaystyle{ n^2 }[/math]. Так, в упомянутой фигуре всего 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 клетки, а это и есть [math]\displaystyle{ 8^2 }[/math].

См. также

• Теорема о гномоне