Линейно упорядоченное множество

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Лине́йно упоря́доченное мно́жество (цепь) ― частично упорядоченное множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть для любых двух элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] имеет место [math]\displaystyle{ a\leqslant b }[/math] или [math]\displaystyle{ b\leqslant a }[/math].

Одно из центральных понятий в теории порядков; играет важную роль в общей алгебре, в частности, особо изучаются упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные поля. Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения

Сечением линейно упорядоченного множества [math]\displaystyle{ P }[/math] называется разбиение его на два подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] так, что [math]\displaystyle{ A\cup B=P }[/math], [math]\displaystyle{ A\cap B=\varnothing }[/math] и для любых [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] и [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]: [math]\displaystyle{ a\leqslant b }[/math]. Классы [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

  • скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
  • дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;
  • щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество [math]\displaystyle{ D }[/math] линейно упорядоченного множества [math]\displaystyle{ P }[/math] называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества [math]\displaystyle{ P }[/math] содержит элементы, принадлежащие [math]\displaystyle{ D }[/math].

Свойства

Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.

Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1]

Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество, в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.

Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] с порядком, унаследованным от [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

Решётка [math]\displaystyle{ L }[/math] изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

Примечания