Проективный предел

Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект [math]\displaystyle{ X }[/math] по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов [math]\displaystyle{ X_i }[/math] и набору отображений [math]\displaystyle{ f_{ij}:X_j\to X_i }[/math], [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math]. Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ X=\varprojlim X_i }[/math],

[math]\displaystyle{ X=\projlim X_i }[/math].

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова.

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть [math]\displaystyle{ I }[/math] — направленное множество [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу [math]\displaystyle{ i\in I }[/math] сопоставлена алгебраическая система [math]\displaystyle{ X_i }[/math] из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре [math]\displaystyle{ (i,\;j) }[/math], такой что [math]\displaystyle{ i,\;j\in I }[/math], [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math], сопоставлен гомоморфизм [math]\displaystyle{ f_{ij}:X_j\to X_i }[/math], причём [math]\displaystyle{ f_{ii} }[/math] — тождественные отображения для любого [math]\displaystyle{ i\in I }[/math] и [math]\displaystyle{ f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk} }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j\leqslant k }[/math] из [math]\displaystyle{ I }[/math]. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество [math]\displaystyle{ X }[/math] прямого произведения [math]\displaystyle{ X_i }[/math], для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:

[math]\displaystyle{ \varprojlim X_i = \biggl\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\;\bigg|\; x_i=f_{ij}(x_j)\ \forall i\leqslant j\biggr\}. }[/math]

Существуют канонические проекции [math]\displaystyle{ \pi_i\colon X \to X_i }[/math], выбирающие [math]\displaystyle{ i }[/math]-ю компоненту прямого произведения для каждого [math]\displaystyle{ i \in I }[/math]. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть [math]\displaystyle{ (X_i, f_{ij}) }[/math] — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда [math]\displaystyle{ X }[/math] называется проективным пределом системы [math]\displaystyle{ (X_i, f_{ij}) }[/math], или [math]\displaystyle{ X=\varprojlim X_i }[/math], если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений [math]\displaystyle{ \pi_i:X\to X_i }[/math], что [math]\displaystyle{ \pi_i=f_{ij}\circ\pi_j }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math];
2. для любого семейства отображений [math]\displaystyle{ \psi_i:Y\to X_i }[/math], произвольного объекта [math]\displaystyle{ Y }[/math], для которого выполнены равенства [math]\displaystyle{ \psi_i=f_{ij}\circ\psi_j }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math], существует единственное отображение [math]\displaystyle{ u:Y\to X }[/math], что [math]\displaystyle{ \psi_i=\pi_i\circ u }[/math], для всех [math]\displaystyle{ i\in I }[/math].

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы [math]\displaystyle{ (X_i, f_{ij}) }[/math].

Примеры

• Целые [math]\displaystyle{ p }[/math]-адические числа являются проективным пределом последовательности [math]\displaystyle{ \Z_{p^n} }[/math] с естественными отображениями вида «взятие остатка» [math]\displaystyle{ \Z_{p^n}\to\Z_{p^m} }[/math] при [math]\displaystyle{ n\geqslant m }[/math].
• Кольцо [math]\displaystyle{ \textstyle R[[t]] }[/math] формальных степенных рядов над коммутативным кольцом [math]\displaystyle{ R }[/math] — проективный предел колец [math]\displaystyle{ \textstyle R[t]/t^nR[t] }[/math], индексированных натуральными числами, с естественными проекциями [math]\displaystyle{ \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t] \to \textstyle R[t]/t^nR[t] }[/math].
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются инициальной топологией на соответствующем множестве-носителе.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Проективный предел — статья из Математической энциклопедии. М. Ш. Цаленко
• Jan-Erik Roos. Derived functors of inverse limits revisited // J. London Math. Soc.. — 2006. — Т. 73, № 1. — С. 65—83. — doi:10.1112/S0024610705022416.