Дискретное пространство

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Дискретная топология»)

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

  • Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — некоторое множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — семейство всех его подмножеств. Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара [math]\displaystyle{ (X, \mathcal{T}) }[/math] называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
  • Пусть [math]\displaystyle{ (X, \rho) }[/math] — метрическое пространство, где метрика [math]\displaystyle{ \rho }[/math] определена следующим образом:
[math]\displaystyle{ \rho(x, y) = \begin{cases} 1, & x \neq y, \\ 0, & x = y, \end{cases} \quad x, y \in X. }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \rho }[/math] называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

  • Пусть [math]\displaystyle{ X = \{ 1,\ldots, n\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], и [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — дискретная метрика на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
  • Пусть [math]\displaystyle{ X = \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho(x,y) = |x-y|. }[/math] Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

  • Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
  • Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
  • Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
  • Дискретное метрическое пространство ограничено.
  • Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
  • Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
  • Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также