Дискретное пространство
(перенаправлено с «Дискретная топология»)
Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.
Определения
- Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — некоторое множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — семейство всех его подмножеств. Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара [math]\displaystyle{ (X, \mathcal{T}) }[/math] называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
- Пусть [math]\displaystyle{ (X, \rho) }[/math] — метрическое пространство, где метрика [math]\displaystyle{ \rho }[/math] определена следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \rho(x, y) = \begin{cases} 1, & x \neq y, \\ 0, & x = y, \end{cases} \quad x, y \in X. }[/math]
Тогда [math]\displaystyle{ \rho }[/math] называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.
Замечание
Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.
Примеры
- Пусть [math]\displaystyle{ X = \{ 1,\ldots, n\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], и [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — дискретная метрика на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
- Пусть [math]\displaystyle{ X = \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho(x,y) = |x-y|. }[/math] Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.
Свойства
- Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
- Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
- Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
- Дискретное метрическое пространство ограничено.
- Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
- Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
- Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.
См. также
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |