Калибровка векторного потенциала

Калибро́вка ве́кторного потенциа́ла — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля ([math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]) при решении тех или иных физических задач. Налагаемые условия являются искусственными и служат для упрощения математических выкладок. Наиболее широкое распространение получили калибровка Кулона и калибровка Лоренца, но существуют и применяются и другие калибровки.

Возможность и смысл калибровки

При введении векторного ([math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]) и скалярного ([math]\displaystyle{ \varphi }[/math]) потенциалов электромагнитного поля возникает неоднозначность, не создающая никаких проблем фундаментального плана, но требующая разрешения для проведения расчётов в конкретных задачах. А именно, преобразования

[math]\displaystyle{ \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi }[/math],

[math]\displaystyle{ \varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \psi = \psi(\vec{r}, t) }[/math] — произвольная скалярная функция координат ([math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math]) и времени ([math]\displaystyle{ t }[/math]), не изменяют вида уравнений Максвелла, а значит, допустимы с физической точки зрения. Необходимо остановиться на каком-то выборе данной функции, причём он может быть сделан из соображений математического удобства. На практике осуществляется не фиксация функции [math]\displaystyle{ \psi }[/math] (при предварительно введённых потенциалах), а наложение некоторого дополнительного условия на сами потенциалы.

Примеры калибровок для произвольного электромагнитного поля

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля (A) с дополнительным условием

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\,\mathbf{A} = 0 }[/math]

Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.

Калибровка Лоренца

Калибровка Лоренца — выбор векторного потенциала электромагнитного поля с условием (в системе СИ)

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\,\mathbf{A} + {1 \over c}{\partial \mathbf{\varphi} \over \partial t} = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — электростатический потенциал.

Эта калибровка применяется для рассмотрения динамических задач. Калибровка Лоренца сохраняется при преобразованиях Лоренца и в ковариантной форме может быть записана как

[math]\displaystyle{ {\partial A_{\mu} \over \partial x_{\mu}} = 0 }[/math]

Калибровка Лондонов

Калибровка Лондонов — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условия

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\,\vec{A} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{n} = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] -- вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

В этой калибровке упрощается запись уравнения Лондонов для линейной электродинамики сверхпроводников.

Калибровка Вейля

Калибровка Вейля — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

[math]\displaystyle{ \varphi = 0 }[/math]

Другие названия — калибровка Гамильтона

[math]\displaystyle{ A_{4} = 0 }[/math]

Калибровка Пуанкаре

Калибровка Пуанкаре (мультиполярная калибровка) — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}\cdot\mathbf{A}=0 }[/math]

Калибровка Фока — Швингера

Калибровка Фока — Швингера — выбор векторного потенциала магнитного поля таким образом, чтобы выполнялись условие

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}\cdot\mathbf{A} + t\cdot\varphi = 0 }[/math],

или

[math]\displaystyle{ x^{\mu}A_{\mu}=0 }[/math]

Калибровка Дирака

[math]\displaystyle{ A_{\mu}A^{\mu}=k^2 }[/math]

Примеры калибровок для однородного магнитного поля

Калибровка Ландау

Калибровка Ландау — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде [math]\displaystyle{ \vec{A}(\vec{r})=Bx\vec{e}_y }[/math], где [math]\displaystyle{ B }[/math] — магнитное поле, а [math]\displaystyle{ \vec{e}_y }[/math] — единичный орт по направлению оси y.

Используется для удобства при решении уравнения Шрёдингера в магнитном поле, поскольку позволяет разделить переменные в декартовой системе координат и получить так называемые уровни Ландау.

Симметричная калибровка

Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде [math]\displaystyle{ \vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{2}\vec{B}\times \vec{r} }[/math], где [math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math] — вектор магнитного поля, а [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] — радиус-вектор.

См. также

• Калибровочная инвариантность
• Калибровочные преобразования