Характеристика (алгебра)

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] характеристикой [math]\displaystyle{ \mathop{\mathrm{char}} R }[/math] называется наименьшее целое [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] такое, что для каждого элемента [math]\displaystyle{ r \in R }[/math] выполняется равенство:

[math]\displaystyle{ n\cdot r = \underbrace{r+\cdots+r}_n = 0 }[/math],

а если такого числа не существует, то предполагается [math]\displaystyle{ \mathop{\mathrm{char}} R = 0 }[/math].

При наличии единицы в кольце [math]\displaystyle{ R }[/math] характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ n\cdot 1=0 }[/math], если же такого [math]\displaystyle{ n }[/math] не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел [math]\displaystyle{ \Z }[/math], поля рациональных чисел [math]\displaystyle{ \Q }[/math], поля вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math], поля комплексных чисел [math]\displaystyle{ \C }[/math] равны нулю. Характеристика кольца вычетов [math]\displaystyle{ \Z/n\Z }[/math] равна [math]\displaystyle{ n }[/math]. Характеристика конечного поля [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{p^m} }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число, [math]\displaystyle{ m }[/math] — положительное целое, равна [math]\displaystyle{ p }[/math].

Тривиальное кольцо с единственным элементом [math]\displaystyle{ 0=1 }[/math] — единственное кольцо с характеристикой [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику [math]\displaystyle{ n }[/math], то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля [math]\displaystyle{ K }[/math] есть либо [math]\displaystyle{ 0 }[/math], либо простое число [math]\displaystyle{ p }[/math]. В первом случае поле [math]\displaystyle{ K }[/math] содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], во втором случае поле [math]\displaystyle{ K }[/math] содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_p }[/math]. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в [math]\displaystyle{ K }[/math]).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_p }[/math] и алгебраическое замыкание поля [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_p }[/math].

Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — коммутативное кольцо простой характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math], то [math]\displaystyle{ (a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ a, b \in R }[/math], [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.