Операторы рождения и уничтожения
Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем[1]. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц[2]. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый [math]\displaystyle{ \hat{a} }[/math]) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый [math]\displaystyle{ \hat{a}^\dagger }[/math]) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком[3].
Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.
Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов[4].
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством [math]\displaystyle{ H }[/math] называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами [math]\displaystyle{ a(f) }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ H }[/math], с учетом соотношений:
- [math]\displaystyle{ [a(f),a(g)]=[a^\dagger(f),a^\dagger(g)]=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ [a(f),a^\dagger(g)]=\langle f\mid g \rangle, }[/math]
в обозначениях бра и кет.
Отображение [math]\displaystyle{ a: f \to a(f) }[/math] из [math]\displaystyle{ H }[/math] в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным антилинейным[англ.]. Сопряженный к элементу [math]\displaystyle{ a(f) }[/math] является [math]\displaystyle{ a^\dagger(f) }[/math], и отображение [math]\displaystyle{ f\to a^\dagger(f) }[/math] является комплексным линейным[англ.] в H. Таким образом, [math]\displaystyle{ H }[/math] используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент [math]\displaystyle{ a(f) }[/math] будет реализован как оператор уничтожения, а [math]\displaystyle{ a^\dagger(f) }[/math] — как оператор рождения.
В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над [math]\displaystyle{ H }[/math] тесно связана, но не идентична алгебре Вейля[англ.].
Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над [math]\displaystyle{ H }[/math] строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно
- [math]\displaystyle{ \{a(f),a(g)\}=\{a^\dagger(f),a^\dagger(g)\}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{a(f),a^\dagger(g)\}=\langle f\mid g \rangle. }[/math]
КАС алгебра конечномерна только в том случае, если [math]\displaystyle{ H }[/math] конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится [math]\displaystyle{ C^* }[/math] алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.
Физический смысл оператора [math]\displaystyle{ a(f) }[/math] заключается в уничтожении частицы в состоянии [math]\displaystyle{ |f\rangle }[/math] тогда как [math]\displaystyle{ a^\dagger(f) }[/math] создает частицу в состоянии [math]\displaystyle{ |f\rangle }[/math].
Вакуумным состоянием свободного поля является состояние [math]\displaystyle{ \left| 0 \right\rangle }[/math] без частиц, характеризуемое как:
- [math]\displaystyle{ a(f) \left| 0 \right\rangle=0. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ |f\rangle }[/math] отнормирован, так что [math]\displaystyle{ \langle f|f\rangle = 1 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ N=a^\dagger(f)a(f) }[/math] дает число частиц в состоянии [math]\displaystyle{ |f\rangle }[/math].
Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля
В квантовых теориях поля и задаче многих тел[англ.] используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, [math]\displaystyle{ a^\dagger_i }[/math] и [math]\displaystyle{ a^{\,}_i }[/math]. Эти операторы изменяют собственные значения оператора числа частиц[англ.],
- [math]\displaystyle{ N = \sum_i n_i = \sum_i a^\dagger_i a^{\,}_i }[/math],
на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, [math]\displaystyle{ i }[/math]) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел [math]\displaystyle{ (n, l, m, s) }[/math] используется для обозначения состояний в атоме водорода.
Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,
- [math]\displaystyle{ [a^{\,}_i, a^\dagger_j] \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j - a^\dagger_ja^{\,}_i = \delta_{i j}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ [a^\dagger_i, a^\dagger_j] = [a^{\,}_i, a^{\,}_j] = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ [\ \ , \ \ ] }[/math] — коммутатор и [math]\displaystyle{ \delta_{i j} }[/math] — cимвол Кронекера.
Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором [math]\displaystyle{ \{\ \ , \ \ \} }[/math],
- [math]\displaystyle{ \{a^{\,}_i, a^\dagger_j\} \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j +a^\dagger_j a^{\,}_i = \delta_{i j}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{a^\dagger_i, a^\dagger_j\} = \{a^{\,}_i, a^{\,}_j\} = 0. }[/math]
Следовательно, обмен непересекающимися (то есть [math]\displaystyle{ i \ne j }[/math]) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.
Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.
См. также
- Пространство Фока
- Пространство Сигала — Баргмана[англ.]
- Оптическое фазовое пространство[англ.]
- Преобразование Боголюбова
- Преобразование Гольштейна — Примакова
- Преобразование Йордана — Вигнера[англ.]
- Отображение Йордана[англ.]
- Преобразование Клейна[англ.]
- Каноническое коммутационное соотношение
Примечания
- ↑ Фейнман, 1975, с. 175.
- ↑ Боголюбов, 1957, с. 69.
- ↑ Dirac, PAMD (1927). The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc Roy Soc London Ser A, 114 (767), 243—265.
- ↑ Фейнман, 1975, с. 200—201.
Литература
- Р. Фейнман. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
- Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.