Преобразование Гольштейна — Примакова
Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонами[1]). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983)[2] в оригинальной работе 1940 года[3].
Первое преобразование Гольштейна — Примакова
При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью [math]\displaystyle{ H_\mathrm{ext} }[/math] вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения [math]\displaystyle{ S_z \approx S }[/math], [math]\displaystyle{ S_{x,y}\ll S }[/math]) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dS_j^x}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_i^y-S_j^y) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^y, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dS_j^y}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_j^x-S_i^x) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^x, }[/math]
где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл [math]\displaystyle{ J_{ji} }[/math], g — фактор Ланде, [math]\displaystyle{ \mu_B }[/math] — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов
- [math]\displaystyle{ S_j^\pm = S_j^x\pm iS_j^y, }[/math]
в форме
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dS_j^\pm}{\mathrm dt} = \mp i\left( S\sum_{j}J_{ji}(S_j^\pm-S_i^\pm) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^\pm\right), }[/math]
где i — мнимая единица.[4]
В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену
- [math]\displaystyle{ S_j^+ = \sqrt{2S}\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}a_j ,\quad S_j^- = \sqrt{2S}a_j^\dagger\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ a_j^\dagger }[/math] — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), [math]\displaystyle{ a_j }[/math] — оператор их уничтожения.[2][5]
Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.[6]
Второе преобразование Гольштейна — Примакова
Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц [math]\displaystyle{ a_j }[/math] и [math]\displaystyle{ a_j^\dagger }[/math] и их представления через волновые вектора [math]\displaystyle{ \mathbf k }[/math]:
- [math]\displaystyle{ a_{\mathbf k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j e^{-i\mathbf k \mathbf r_j},\quad a_{\mathbf k}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j^\dagger e^{i\mathbf k \mathbf r_j}. }[/math]
Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы [math]\displaystyle{ a_{\mathbf k} }[/math] и [math]\displaystyle{ a_{\mathbf k}^\dagger }[/math] называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.[7]
См. также
Примечания
- ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 225.
- ↑ 2,0 2,1 Rössler, 2009, p. 173.
- ↑ T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58, № 12. — С. 1098–1113. — doi:10.1103/PhysRev.58.1098.
- ↑ Rössler, 2009, pp. 171—172.
- ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 230.
- ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 231—232.
- ↑ Гуревич, Мелков, 1994, с. 232—233.
Литература
- Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с. — 2000 экз. — ISBN 5-02-014366-9.
- Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976. — С. 106—108. — 646 с.
- Х. Xакен. Квантовополевая теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.
- T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58, № 12. — С. 1098–1113. — doi:10.1103/PhysRev.58.1098.
- Kei Yosida. Theory of magnetism. — Springer, 1998. — Vol. 122. — P. 120—125. — 320 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 9783540606512.
- Ulrich Rössler. Solid state theory: an introduction. — 2nd ed. — Springer, 2009. — 398 p. — ISBN 9783540927617.