Коммутатор (алгебра)

Коммутатором операторов [math]\displaystyle{ \hat A }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat B }[/math] в алгебре, а также квантовой механике называется оператор [math]\displaystyle{ [\hat A, \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A }[/math]. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Коммутатор матриц

Коммутатор определяется для пары квадратных матриц одинакового размера. В этом случае его называют матричным коммутатором.

Коммутатор векторных полей

Гладкому векторному полю [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] можно сопоставить дифференциальный оператор (математики часто считают, что векторные поля — это и есть дифференциальный операторы первого порядка):

[math]\displaystyle{ \hat v=v^i\frac{~\partial}{\partial X^i}. }[/math]

По повторяющемуся индексу подразумевается сумма.

Мы можем определить коммутатор двух таких дифференциальных операторов

[math]\displaystyle{ [\hat v,\hat w]\varphi=\left(v^i\frac{~\partial}{\partial X^i}w^j\frac{~\partial}{\partial X^j} -w^i\frac{~\partial}{\partial X^i}v^j\frac{~\partial}{\partial X^j}\right)\varphi =\left(v^i\frac{\partial w^j}{\partial X^i} -w^i\frac{\partial v^j}{\partial X^i}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial X^j}. }[/math]

Коммутатору дифференциальных операторов [math]\displaystyle{ [\hat v,\hat w] }[/math] можно сопоставить векторное поле с компонентами

[math]\displaystyle{ [\hat v,\hat w]^j =v^i\frac{\partial w^j}{\partial X^i} -w^i\frac{\partial v^j}{\partial X^i}. }[/math]

Это поле называется коммутатором векторных полей и обозначают как [math]\displaystyle{ [\mathbf{v},\mathbf{w}] }[/math].

Тождества с коммутатором

• Антикоммутативность: [math]\displaystyle{ [A,B] = -[B,A]. }[/math] Из этого тождества следует что [math]\displaystyle{ [A,A]=0 }[/math] для любого оператора [math]\displaystyle{ A }[/math].

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• [math]\displaystyle{ [A,BC] = [A,B]C + B [A,C] }[/math]. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора [math]\displaystyle{ D_A = [A,\cdot]. }[/math] По этой причине оператор [math]\displaystyle{ D_A }[/math] называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор [math]\displaystyle{ \tilde D_A = [\cdot,A]. }[/math]
• Тождество Якоби: [math]\displaystyle{ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0. }[/math] Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• [math]\displaystyle{ [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0. }[/math] Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
• [math]\displaystyle{ [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B }[/math]
• [math]\displaystyle{ [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC }[/math]
• [math]\displaystyle{ [AB,CD] = A[B,CD] +[A,CD]B = A[B,C]D + AC[B,D] +[A,C]DB + C[A,D]B }[/math]
• [math]\displaystyle{ [A,BCD] = [A,B]CD + B[A,C]D + BC[A,D] }[/math]
• [math]\displaystyle{ [A,BCDE] = [A,B]CDE + B[A,C]DE + BC[A,D]E + BCD[A,E] }[/math]
• [math]\displaystyle{ [ABCD,E] = ABC[D,E] + AB[C,E]D + A[B,E]CD + [A,E]BCD }[/math]
• [math]\displaystyle{ [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]] }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname{ad}(A)} B. }[/math] Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
• [math]\displaystyle{ \ln \left( e^{A} e^Be^{-A} e^{-B}\right)= [A,B]+\frac{1}{2!}[(A+B),[A,B]]+\frac{1}{3!}\left( [A,[B,[B,A]]]/2 + [(A+B),[(A+B),[A,B]]] \right)+\cdots . }[/math]

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] физической величины [math]\displaystyle{ f }[/math] на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам [math]\displaystyle{ \hat F }[/math], при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

[math]\displaystyle{ \hat F \psi_i= f \psi_i }[/math]

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

[math]\displaystyle{ \hat F \hat G \psi_i = g \hat F \psi_i = g f \psi_i = \hat G \hat F \psi_i }[/math]

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) [math]\displaystyle{ \hat p_x = - i \hbar \frac {\partial}{\partial x} }[/math] и соответствующей координаты [math]\displaystyle{ \hat x = x }[/math] (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

[math]\displaystyle{ i \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi }[/math]

и определения полной производной оператора по времени

[math]\displaystyle{ \dot {\hat f} = \hat {\dot f} }[/math]

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

[math]\displaystyle{ \dot {\hat f} = {i \over \hbar} [\hat H, \hat f]+ \frac {\partial \hat f}{\partial t} }[/math]

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

[math]\displaystyle{ \dot f = \mathcal{\{} H,f \mathcal{\}} + \frac {\partial f}{\partial t} }[/math]

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

[math]\displaystyle{ \hat r_i, \hat p_i, \hat L_i }[/math] — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; [math]\displaystyle{ \delta_{i j} }[/math] — дельта Кронекера; [math]\displaystyle{ e_{i j k} }[/math] — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

[math]\displaystyle{ [\hat r_i, \hat p_j] = i \hbar \delta_{i j} }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat p, f(\vec r)] = - i \hbar \nabla f }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat L_i, \hat r_j] = i \hbar e_{i j k}\hat r_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat L_i, \hat p_j] = i \hbar e_{i j k}\hat p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat L_i, \hat L_j] = i \hbar e_{i j k}\hat L_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat L^2, \hat L_i] = 0 }[/math]

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: [math]\displaystyle{ \ \hat L_j = \hbar \hat l_j }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat l_i, \hat r_j] = i e_{i j k}\hat r_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat l_i, \hat p_j] = i e_{i j k}\hat p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat l_i, \hat l_j] = i e_{i j k}\hat l_k }[/math]

[math]\displaystyle{ [\hat l^2, \hat l_i] = 0 }[/math]

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно [math]\displaystyle{ z }[/math]) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называются величины, коммутатор которых [math]\displaystyle{ [A,B] = AB - BA \neq 0 }[/math].

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют.

Антикоммутатор

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

[math]\displaystyle{ [x, y]_+ := xy + yx }[/math]

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры

• Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.
• При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.

Литература

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

См. также

• Теория операторов
• Поле Киллинга