Преобразование Боголюбова

В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике.

Случай бозонов

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

[math]\displaystyle{ \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1~. }[/math]

Определим новую пару операторов

[math]\displaystyle{ \hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a}~, }[/math]

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам [math]\displaystyle{ \hat{a} }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{a}^\dagger }[/math] операторы [math]\displaystyle{ \hat b \text{ и} {\hat b}^\dagger }[/math]. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

[math]\displaystyle{ \left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ] = \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger , u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ] = \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ]. }[/math]

Очевидно, что [math]\displaystyle{ \,|u|^2 - |v|^2 = 1 }[/math] — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

[math]\displaystyle{ u = e^{i \theta_1} \operatorname{ch} r }[/math]

[math]\displaystyle{ v = e^{i \theta_2} \operatorname{sh} r ~ . }[/math]

Случай фермионов

Для антикоммутатора

[math]\displaystyle{ \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1 }[/math],

такое же преобразование с u и v приводит к

[math]\displaystyle{ \left\{ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right\} = (|u|^2 + |v|^2) \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} }[/math]

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

[math]\displaystyle{ u = e^{i \theta_1} \cos r \,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ v = e^{i \theta_2} \sin r \,\! . }[/math]