ККС и КАС алгебры

ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: ^[1]бозонов и фермионов, соответственно.^[2].

ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math] (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами [math]\displaystyle{ V }[/math], в которой выполняются соотношения

[math]\displaystyle{ fg-gf=i(f,g) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^*=f }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ f, g }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math] называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, [math]\displaystyle{ V }[/math] снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой^[англ.] [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math] унитальная *-алгебра, порожденная элементами [math]\displaystyle{ V }[/math], в которой выполняются соотношения

[math]\displaystyle{ fg+gf=(f,g) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^*=f }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ f, g }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math] называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

ККС C*-алгебра

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]. В теории операторных алгебр алгебра ККС над [math]\displaystyle{ H }[/math] является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами [math]\displaystyle{ \{W(f):f \in H\} }[/math] обладающими свойствами

[math]\displaystyle{ W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g) }[/math]

[math]\displaystyle{ W(f)^*=W(-f) }[/math]

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент [math]\displaystyle{ W(f) }[/math] является унитарным и [math]\displaystyle{ W(0)=1 }[/math]. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.^[3]

Когда [math]\displaystyle{ H }[/math] является гильбертовым пространством, а [math]\displaystyle{ (\cdot, \cdot) }[/math] задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх [math]\displaystyle{ H }[/math], при помощи соотношения:

[math]\displaystyle{ W(f)\left(1,g,\frac{g^{\otimes 2}}{2!},\frac{g^{\otimes 3}}{3!},\ldots\right)= e^{-\frac{1}{2}||f||^2-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,\frac{(f+g)^{\otimes 2}}{2!},\frac{(f+g)^{\otimes 3}}{3!},\ldots\right) }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ f,g \in H }[/math]. Операторы поля [math]\displaystyle{ B(f) }[/math] определяются для каждого [math]\displaystyle{ f \in H }[/math] как генераторы однопараметрической унитарной группы [math]\displaystyle{ (W(tf))_{t \in \mathbb{R}} }[/math] на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными^[англ.]^* неограниченными операторами^[англ.], однако они формально удовлетворяют соотношению

[math]\displaystyle{ B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm{Im}\langle f,g\rangle }[/math]

Поскольку отношение [math]\displaystyle{ f \mapsto B(f) }[/math] является вещественнолинейным, поэтому операторы [math]\displaystyle{ B(f) }[/math] определяют ККС-алгебру над [math]\displaystyle{ (H, 2 \mathrm{Im} \langle \cdot, \cdot \rangle) }[/math] в смысле раздел 1.

КАС C*-алгебра

Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами [math]\displaystyle{ \{ b (f), b^* (f): f \in H \} }[/math] с учетом отношений

[math]\displaystyle{ b(f)b^*(g)+b^*(g)b(f)=\langle f,g\rangle, \, }[/math]

[math]\displaystyle{ b(f)b(g)+b(g)b(f)=0, \, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lambda b^*(f)=b^*(\lambda f), \, }[/math]

[math]\displaystyle{ b(f)^*=b^*(f), \, }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ f,g \in H }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{C} }[/math]. Когда [math]\displaystyle{ H }[/math] отделима, КАС-алгебра представляет собой приближенно конечномерную C*-алгебру^[англ.] и, в частном случае бесконечномерного [math]\displaystyle{ H }[/math], ее часто записывают как [math]\displaystyle{ {M_{2^\infty}(\mathbb {C})} }[/math].^[4]

Пусть [math]\displaystyle{ F_a(H) }[/math] будет антисимметричным пространством Фока над [math]\displaystyle{ H }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ P_a }[/math] будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

[math]\displaystyle{ P_a: \bigoplus_{n=0}^\infty H^{\otimes n} \to F_a(H). \, }[/math]

КАС-алгебра точно представляется в [math]\displaystyle{ F_a(H) }[/math], при помощи соотношения

[math]\displaystyle{ b^*(f)P_a(g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n)=P_a(f\otimes g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n) \, }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ f, g_1, \ldots, g_n \in H }[/math] и [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля [math]\displaystyle{ B(f):=b^*(f)+b(f) }[/math] удовлетворяют соотношению

[math]\displaystyle{ B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm{Re}\langle f,g\rangle, \, }[/math]

дающему связь с глава 1.

См. также

Примечания

↑ Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М., Мир, 1968. — c. 51-52
↑ Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. — Springer, 2nd ed, 1997. — ISBN 978-3-540-61443-2.
↑ Petz, Denes. An Invitation to the Algebra of Canonical Commutation Relations. — Leuven University Press, 1990. — ISBN 978-90-6186-360-1. Архивная копия от 15 августа 2019 на Wayback Machine
↑ Evans, David E. Quantum Symmetries in Operator Algebras / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-851175-5.

[1] Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М., Мир, 1968. — c. 51-52

[2] Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. — Springer, 2nd ed, 1997. — ISBN 978-3-540-61443-2.

[3] Petz, Denes. An Invitation to the Algebra of Canonical Commutation Relations. — Leuven University Press, 1990. — ISBN 978-90-6186-360-1. Архивная копия от 15 августа 2019 на Wayback Machine

[4] Evans, David E. Quantum Symmetries in Operator Algebras / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-851175-5.

[1]

[2]

[3]

[4]