Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Если два оператора [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] имеют коммутатор:

[math]\displaystyle{ [N,X]=cX }[/math]

для некоторого скаляра [math]\displaystyle{ c }[/math], то оператор [math]\displaystyle{ X }[/math] действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора [math]\displaystyle{ N }[/math] на [math]\displaystyle{ c }[/math]:

[math]\displaystyle{ N \circ X|n\rangle }[/math]	[math]\displaystyle{ {}= (XN+[N,X])|n\rangle }[/math]
	[math]\displaystyle{ {} = (XN + cX)|n\rangle }[/math]
	[math]\displaystyle{ {} = XN|n\rangle + cX|n\rangle }[/math]
	[math]\displaystyle{ {} = Xn|n\rangle + cX|n\rangle }[/math]
	[math]\displaystyle{ {} = (n+c)X|n\rangle }[/math].

Другими словами, если [math]\displaystyle{ |n\rangle }[/math] является собственным вектором оператора [math]\displaystyle{ N }[/math] с собственным значением [math]\displaystyle{ n }[/math], то [math]\displaystyle{ X|n\rangle }[/math] — собственное состояние [math]\displaystyle{ N }[/math] с собственным значением [math]\displaystyle{ n+c }[/math]. Повышающий оператор для [math]\displaystyle{ N }[/math] — оператор [math]\displaystyle{ X }[/math], для которого [math]\displaystyle{ c }[/math] является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число [math]\displaystyle{ c }[/math] вещественное отрицательное.

Если [math]\displaystyle{ N }[/math] — эрмитов оператор, то [math]\displaystyle{ c }[/math] должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от [math]\displaystyle{ X }[/math] подчиняется следующему коммутационному соотношению:

[math]\displaystyle{ [N,X^\dagger] = -cX^\dagger }[/math].

Также верно, что если [math]\displaystyle{ X }[/math] является понижающим оператором для [math]\displaystyle{ N }[/math], то [math]\displaystyle{ X^\dagger }[/math] — повышающий оператор [math]\displaystyle{ N }[/math] (и обратное тоже верно).