Канонические коммутационные соотношения
Канони́ческие коммутацио́нные соотноше́ния — в квантовой механике это коммутационные соотношения между канонически сопряжёнными операторами, то есть операторами физических величин, являющимися дуальными относительно преобразования Фурье.
Каноническим коммутационным соотношениям в гамильтоновой механике соответствуют задаваемым через скобки Пуассона соотношениям между каноническими координатами.
Канонические коммутационное соотношение для операторов координат [math]\displaystyle{ \hat x_\alpha }[/math] и операторов проекций импульса [math]\displaystyle{ \hat p_\beta }[/math] имеет вид:
- [math]\displaystyle{ [\hat x_\alpha, \hat p_\beta] = i\hbar\,\delta_{\alpha\beta}=\left\{\begin{array}[cc] ~i\hbar,&\alpha=\beta\\ ~0,&\alpha\not=\beta\end{array}\right., }[/math]
- [math]\displaystyle{ [\hat x_\alpha,\hat x_\beta]=0,\qquad[\hat p_\alpha,\hat p_\beta]=0, }[/math]
где квадратными скобками обозначен коммутатор: [math][a,b]=ab-ba[/math].
Из этих соотношений следует, в частности, принцип неопределённости Гейзенберга[1].
Канонические коммутационные соотношения могут быть записаны в форме Вейля[2] через групповой коммутатор унитарных операторов сдвига по координате [math]e^{\frac{i}{\hbar}a\hat p_\alpha}[/math] и сдвига по импульсу [math]e^{\frac{i}{\hbar}b\hat x_\beta}[/math]:
- [math]e^{\frac{i}{\hbar}a\hat p_\alpha} e^{\frac{i}{\hbar}b\hat x_\beta}e^{-\frac{i}{\hbar}a\hat p_\alpha} e^{-\frac{i}{\hbar}b\hat x_\beta}=e^{i\frac{ab}{\hbar}\delta_{\alpha\beta}}.[/math]
См. также
Примечания
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — С. 66—70. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
- ↑ Иванов М.Г. Как понимать квантовую механику. — 2-е. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2015. — С. 347. — 552 с. — ISBN 978-5-4344-0288-0.