Нормальный оператор

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: [math]\displaystyle{ N^* N = N N^* }[/math]. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: [math]\displaystyle{ A = A^* }[/math] и унитарные операторы: [math]\displaystyle{ U^{-1} = U^* }[/math]. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения

• Аддитивное разложение. [math]\displaystyle{ N = X + i Y }[/math], где [math]\displaystyle{ X, Y }[/math] — перестановочные самосопряжённые операторы,

[math]\displaystyle{ X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*). }[/math]

• Мультипликативное (полярное) разложение. [math]\displaystyle{ N = R U = U R }[/math], где [math]\displaystyle{ R = \sqrt{N^* N} }[/math] — положительный самосопряжённый оператор, [math]\displaystyle{ U }[/math] — унитарный оператор. Операторы [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ U }[/math] перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ N^* }[/math].

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа [math]\displaystyle{ z }[/math] через его действительную и мнимую части: [math]\displaystyle{ z = x + i y }[/math], а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: [math]\displaystyle{ z = r e^{i \varphi}. }[/math]

Свойства

• Если оператор [math]\displaystyle{ N }[/math] нормален, то операторы [math]\displaystyle{ N^* }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C} }[/math], а также обратный оператор [math]\displaystyle{ N^{-1} }[/math] (если он существует), тоже нормальны.
• Линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ N }[/math] в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math] нормален тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \| N x \| = \| N^* x\| }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ x \in H }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp} }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ \mbox{Ker}\, N }[/math] — ядро, [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\, N }[/math] — образ оператора [math]\displaystyle{ N }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ N x = \alpha x }[/math] при некотором [math]\displaystyle{ x \in H }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C} }[/math], то [math]\displaystyle{ N^* x = \bar \alpha x }[/math].
• Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны.
• Теорема о перестановочности. Пусть [math]\displaystyle{ M, N, T }[/math] — линейные непрерывные операторы, причем операторы [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] нормальны. Если [math]\displaystyle{ M T = T N }[/math], то [math]\displaystyle{ M^* T = T N^* }[/math]. В частности, если оператор [math]\displaystyle{ T }[/math] перестановочен с нормальным оператором [math]\displaystyle{ N }[/math], то он перестановочен и с сопряжённым [math]\displaystyle{ N^* }[/math].
• [math]\displaystyle{ \| N \| = \sup \{ |(Nx,x)| \colon x \in H, \, \| x \| \le 1 \} }[/math]
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если [math]\displaystyle{ M = T N T^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ M, N }[/math] — нормальные операторы, а оператор [math]\displaystyle{ T }[/math] обратим, то [math]\displaystyle{ M = U N U^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ U }[/math] — унитарный оператор.
• [math]\displaystyle{ \| N^m\| = \| N \|^m }[/math], следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Любому нормальному оператору [math]\displaystyle{ N }[/math] соответствует семейство проекционных операторов [math]\displaystyle{ \{ E(\delta) \} }[/math], являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что [math]\displaystyle{ N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy), }[/math] и вообще [math]\displaystyle{ q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy), }[/math] где [math]\displaystyle{ q(z, \bar z) }[/math] — произвольный многочлен от [math]\displaystyle{ z = x + i y }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar z = x - i y }[/math]; при любом фиксированном прямоугольнике [math]\displaystyle{ \delta }[/math] оператор [math]\displaystyle{ E(\delta) }[/math] является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ N^* }[/math].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

[math]\displaystyle{ f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy). }[/math]

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
• Для нормального оператора [math]\displaystyle{ N }[/math] каждый из операторов [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ N^* }[/math] представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора [math]\displaystyle{ N }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ S }[/math] — инвариантное подпространство относительно оператора [math]\displaystyle{ N }[/math], то его ортогональное дополнение [math]\displaystyle{ S^{\perp} }[/math] тоже является инвариантным подпространством для [math]\displaystyle{ N }[/math].
• Матрица [math]\displaystyle{ N }[/math] является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть [math]\displaystyle{ N = U D U^{-1}, }[/math] где [math]\displaystyle{ U }[/math] — унитарная матрица, [math]\displaystyle{ D }[/math] — диагональная матрица.

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор [math]\displaystyle{ N }[/math] (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math] называется нормальным, если его область определения [math]\displaystyle{ D(N) }[/math] плотна в [math]\displaystyle{ H }[/math], он замкнут и удовлетворяет условию [math]\displaystyle{ N^* N = N N^* }[/math]. Для нормального оператора [math]\displaystyle{ D(N^*) = D(N) }[/math], [math]\displaystyle{ \| N x \| = \| N^* x\| }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x \in D(N) }[/math]. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Литература

• Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.