Поверхность второго порядка
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
- [math]\displaystyle{ a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0 }[/math]
в котором по крайней мере один из коэффициентов [math]\displaystyle{ a_{11} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{22} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{33} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{12} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{23} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{13} }[/math] отличен от нуля.
Типы поверхностей второго порядка
Цилиндрические поверхности
Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется цилиндрической поверхностью с образующей [math]\displaystyle{ \vec{l} }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей [math]\displaystyle{ \vec{l} }[/math], целиком принадлежит поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math].
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] имеет уравнение [math]\displaystyle{ f(x,y)=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ S }[/math] — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math].
Кривая, задаваемая уравнением [math]\displaystyle{ f(x,y)=0 }[/math] в плоскости [math]\displaystyle{ z=0 }[/math], называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Конические поверхности
Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется конической поверхностью с вершиной в точке [math]\displaystyle{ O }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] этой поверхности прямая, проходящая через [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ O }[/math], целиком принадлежит этой поверхности.
Функция [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math] называется однородной порядка [math]\displaystyle{ m }[/math], если [math]\displaystyle{ \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z }[/math] выполняется следующее: [math]\displaystyle{ F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z) }[/math]
Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана уравнением [math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math] — однородная функция, то [math]\displaystyle{ S }[/math] — коническая поверхность с вершиной в начале координат.
Если поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана функцией [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math], являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то [math]\displaystyle{ S }[/math] называется конической поверхностью второго порядка.
- Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 }[/math]
Поверхности вращения
Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется поверхностью вращения вокруг оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0(x_0,y_0,z_0) }[/math] этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ (0,0,z_0) }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r=\sqrt{x_0^2+y_0^2} }[/math], целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана уравнением [math]\displaystyle{ F(x^2+y^2,z)=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ S }[/math] — поверхность вращения вокруг оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math].
Эллипсоид: | Однополостной гиперболоид: | Двуполостной гиперболоид: | Эллиптический параболоид: | Гиперболический параболоид: |
---|---|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z }[/math] |
В случае, если [math]\displaystyle{ a=b\neq 0 }[/math], перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид
- [math]\displaystyle{ \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2z. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ a=b }[/math], то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой [math]\displaystyle{ p = a^2 = b^2 }[/math], вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ z=z_0\gt 0 }[/math] является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] или [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] является параболой.
Гиперболический параболоид
Уравнение гиперболического параболоида имеет вид
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z. }[/math]
Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math] является гиперболой.
Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] или [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] является параболой.
Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».
Центральные поверхности
Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты [math]\displaystyle{ \left(x_0,\;y_0\;z_0\right) }[/math] можно найти, решив систему уравнений:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13}z_0 + a_{14} = 0 \\ a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23}z_0 + a_{24} = 0 \\ a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}z_0 + a_{34} = 0 \end{cases} }[/math]
Матричный вид уравнения поверхности второго порядка
Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = 0 }[/math]
Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + a_{44} = 0 }[/math]
Если обозначить [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \quad X = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}^T }[/math] , то уравнение приобретает следующий вид:
- [math]\displaystyle{ X^T A X + 2 b X + a_{44} = 0 }[/math]
Инварианты
Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:
- Связанных с матрицей [math]\displaystyle{ A }[/math]:
- [math]\displaystyle{ I_1 = \mathrm{tr} \, A }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_2 = {M_A}_{1,2}^{1,2} + {M_A}_{1,3}^{1,3} + {M_A}_{2,3}^{2,3} }[/math], где [math]\displaystyle{ {M_A}_{i,j}^{i,j} }[/math] — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
- [math]\displaystyle{ I_3 = \det A }[/math]
- Связанных с блочной (расширенной) матрицей [math]\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & a_{44} \end{pmatrix} }[/math][1]
- [math]\displaystyle{ K_2 = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=i+1}^{4} {M_B}_{i,j}^{i,j} }[/math]
- [math]\displaystyle{ K_3 = \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=i+1}^{3} \sum_{k=j+1}^{4} {M_B}_{i,j,k}^{i,j,k} }[/math]
- [math]\displaystyle{ K_4 = \det B }[/math]
Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.
При параллельном переносе системы координат величины [math]\displaystyle{ I_1, I_2, I_3, K_4 }[/math] остаются неизменными. При этом:
- [math]\displaystyle{ K_3 }[/math] остается неизменной только если [math]\displaystyle{ I_2=I_3=K_4=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ K_2 }[/math] остается неизменной только если [math]\displaystyle{ I_2=I_3=K_4=K_3=0 }[/math]
Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов
Поверхность | Уравнение | Инварианты | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Эллипсоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_3\neq0 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_2\gt 0, \quad I_1I_3\gt 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math] | ||
Мнимый эллипсоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math] | ||||
Точка | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+z^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math] | ||||
Однополостный гиперболоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_2=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ I_1I_3\leq0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math] | |||
Двуполостный гиперболоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math] | ||||
Конус | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math] | ||||
Эллиптический параболоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_3=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\neq0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math] | ||
Гиперболический параболоид | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2z=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math] | ||||
Эллиптический цилиндр | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_2\gt 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_1K_2\lt 0 }[/math] | ||
Мнимый эллиптический цилиндр | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_1K_2\gt 0 }[/math] | ||||
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей) | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+y^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math] | ||||
Гиперболический цилиндр | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ I_2\lt 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_2\neq 0 }[/math] | |||
Пара пересекающихся плоскостей | [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-y^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math] | ||||
Параболический цилиндр | [math]\displaystyle{ y^2=2px }[/math] | [math]\displaystyle{ I_2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_2\neq 0 }[/math] | |||
Пара параллельных плоскостей | [math]\displaystyle{ x^2-d^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_1\lt 0 }[/math] | |||
Пара мнимых параллельных плоскостей | [math]\displaystyle{ x^2+d^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_1\gt 0 }[/math] | ||||
Плоскость | [math]\displaystyle{ x^2=0 }[/math] | [math]\displaystyle{ K_1=0 }[/math] |
Примечания
- ↑ Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с.
Литература
- В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
- В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
- П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
- Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.
См. также
- Квадрика
- Поверхность вращения
- Сфера
- Цилиндрическая поверхность
- Гиперболоид
- Параболоид
- Эллипсоид
- Поверхность Дарбу
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |