Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

[math]\displaystyle{ a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0 }[/math]

в котором по крайней мере один из коэффициентов [math]\displaystyle{ a_{11} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{22} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{33} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{12} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{23} }[/math], [math]\displaystyle{ a_{13} }[/math] отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется цилиндрической поверхностью с образующей [math]\displaystyle{ \vec{l} }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей [math]\displaystyle{ \vec{l} }[/math], целиком принадлежит поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math].

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] имеет уравнение [math]\displaystyle{ f(x,y)=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ S }[/math] — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math].

Кривая, задаваемая уравнением [math]\displaystyle{ f(x,y)=0 }[/math] в плоскости [math]\displaystyle{ z=0 }[/math], называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.


Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ y^2=2px }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1 }[/math]

Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ y^2=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0 }[/math]

Конические поверхности

Файл:Con.png

Коническая поверхность.

Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется конической поверхностью с вершиной в точке [math]\displaystyle{ O }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] этой поверхности прямая, проходящая через [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ O }[/math], целиком принадлежит этой поверхности.

Функция [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math] называется однородной порядка [math]\displaystyle{ m }[/math], если [math]\displaystyle{ \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z }[/math] выполняется следующее: [math]\displaystyle{ F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z) }[/math]

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана уравнением [math]\displaystyle{ F(x,y,z)=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math] — однородная функция, то [math]\displaystyle{ S }[/math] — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана функцией [math]\displaystyle{ F(x,y,z) }[/math], являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то [math]\displaystyle{ S }[/math] называется конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 }[/math]

Поверхности вращения

Поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] называется поверхностью вращения вокруг оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math], если для любой точки [math]\displaystyle{ M_0(x_0,y_0,z_0) }[/math] этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ (0,0,z_0) }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r=\sqrt{x_0^2+y_0^2} }[/math], целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] задана уравнением [math]\displaystyle{ F(x^2+y^2,z)=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ S }[/math] — поверхность вращения вокруг оси [math]\displaystyle{ OZ }[/math].


Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:	Гиперболический параболоид:
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z }[/math]

В случае, если [math]\displaystyle{ a=b\neq 0 }[/math], перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2z. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ a=b }[/math], то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой [math]\displaystyle{ p = a^2 = b^2 }[/math], вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ z=z_0\gt 0 }[/math] является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] или [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] является параболой.

Гиперболический параболоид

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z. }[/math]

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math] является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] или [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты [math]\displaystyle{ \left(x_0,\;y_0\;z_0\right) }[/math] можно найти, решив систему уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13}z_0 + a_{14} = 0 \\ a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23}z_0 + a_{24} = 0 \\ a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}z_0 + a_{34} = 0 \end{cases} }[/math]

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = 0 }[/math]

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + a_{44} = 0 }[/math]

Если обозначить [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} a_{14} & a_{24} & a_{34} \end{pmatrix} \quad X = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}^T }[/math] , то уравнение приобретает следующий вид:

[math]\displaystyle{ X^T A X + 2 b X + a_{44} = 0 }[/math]

Инварианты

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

Связанных с матрицей [math]\displaystyle{ A }[/math]:
- [math]\displaystyle{ I_1 = \mathrm{tr} \, A }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_2 = {M_A}_{1,2}^{1,2} + {M_A}_{1,3}^{1,3} + {M_A}_{2,3}^{2,3} }[/math], где [math]\displaystyle{ {M_A}_{i,j}^{i,j} }[/math] — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
- [math]\displaystyle{ I_3 = \det A }[/math]

Связанных с блочной (расширенной) матрицей [math]\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & a_{44} \end{pmatrix} }[/math]^[1]
- [math]\displaystyle{ K_2 = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=i+1}^{4} {M_B}_{i,j}^{i,j} }[/math]
- [math]\displaystyle{ K_3 = \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=i+1}^{3} \sum_{k=j+1}^{4} {M_B}_{i,j,k}^{i,j,k} }[/math]
- [math]\displaystyle{ K_4 = \det B }[/math]

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины [math]\displaystyle{ I_1, I_2, I_3, K_4 }[/math] остаются неизменными. При этом:

[math]\displaystyle{ K_3 }[/math] остается неизменной только если [math]\displaystyle{ I_2=I_3=K_4=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ K_2 }[/math] остается неизменной только если [math]\displaystyle{ I_2=I_3=K_4=K_3=0 }[/math]

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов


Поверхность	Уравнение	Инварианты
Эллипсоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_3\neq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2\gt 0, \quad I_1I_3\gt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math]
Мнимый эллипсоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math]			[math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math]
Точка	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+z^2=0 }[/math]			[math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math]
Однополостный гиперболоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]		[math]\displaystyle{ I_2=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ I_1I_3\leq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math]
Двуполостный гиперболоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 }[/math]			[math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math]
Конус	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z^2=0 }[/math]			[math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math]
Эллиптический параболоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_3=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_4\neq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_4\lt 0 }[/math]
Гиперболический параболоид	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2z=0 }[/math]		[math]\displaystyle{ K_4\neq0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_4\gt 0 }[/math]
Эллиптический цилиндр	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math]		[math]\displaystyle{ K_4=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2\gt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_1K_2\lt 0 }[/math]
Мнимый эллиптический цилиндр	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1 }[/math]				[math]\displaystyle{ I_1K_2\gt 0 }[/math]
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей)	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+y^2=0 }[/math]				[math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math]
Гиперболический цилиндр	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math]			[math]\displaystyle{ I_2\lt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_2\neq 0 }[/math]
Пара пересекающихся плоскостей	[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-y^2=0 }[/math]			[math]\displaystyle{ I_2\lt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math]
Параболический цилиндр	[math]\displaystyle{ y^2=2px }[/math]			[math]\displaystyle{ I_2=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_2\neq 0 }[/math]
Пара параллельных плоскостей	[math]\displaystyle{ x^2-d^2=0 }[/math]				[math]\displaystyle{ K_2=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ K_1\lt 0 }[/math]
Пара мнимых параллельных плоскостей	[math]\displaystyle{ x^2+d^2=0 }[/math]					[math]\displaystyle{ K_1\gt 0 }[/math]
Плоскость	[math]\displaystyle{ x^2=0 }[/math]					[math]\displaystyle{ K_1=0 }[/math]

Примечания

↑ Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с.

Литература

В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. также

[1] Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с.

[1]