Линейчатая поверхность
Линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.
Если [math]\displaystyle{ p(u) }[/math] ― радиус-вектор направляющей, a [math]\displaystyle{ m=m(u) }[/math] ― единичный вектор образующей, проходящей через [math]\displaystyle{ p(u) }[/math], то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
- [math]\displaystyle{ r=p(u)+v\cdot m(u), }[/math]
где [math]\displaystyle{ v }[/math] ― координата точки на образующей.
Примеры
-
Линейчатый геликоид
-
Линейчатый гиперболоид
-
Гиперболический параболоид
-
Цилиндр, гиперболоиды и конус как линейчатые поверхности
Свойства
- Линейчатая поверхность характеризуется тем, что её асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
- Гауссова кривизна линейчатой поверхности [math]\displaystyle{ K \leq 0 }[/math].
- Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
- Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность [math]\displaystyle{ F }[/math], не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность [math]\displaystyle{ F' }[/math], то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
- Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
- Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, может быть вырождающейся в цилиндр, конус или плоскость.
- Существуют примеры гладких линейчатых поверхностей, не допускающих гладких параметризаций вида
- [math]\displaystyle{ r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u). }[/math]
Типы
- Поверхность Каталана — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны одной плоскости.
- Цилиндрическая поверхность — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны.
- Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую.
В архитектуре
-
Синусоидальная линейчатая крыша, Храм Святого Семейства (Барселона)
-
Гиперболоидные градирни
-
Башня в Цехануве
-
Башня Кобе.
-
Первая Шуховская башня, 1896 Нижний Новгород.
-
Шуховская башня в Москве.
-
лестница в Торраццо Кремоны.
-
Параболическая крыша Варшава.
-
Коническая шапка.
-
Ротонда Св. Николая в Село, Словения
Вариации и обобщения
Поверхности, образованные движением геодезической в метрическом пространстве также называются линейчатыми поверхностями. Классический результат Александрa Даниловичa Александровa утверждает, что линейчатая поверхность в CAT(0) пространстве с индуцированной внутренней метрикой является CAT(0) пространством.[1]
Примечания
- ↑ А. Д. Александров, Линейчатые поверхности в метрических пространствах Архивная копия от 22 апреля 2021 на Wayback Machine, Вестник Ленинградского университета №1, 1957, с. 5—26
Литература
- Линейчатые поверхности // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.