Касательный вектор

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ x_0\in \mathbb{R} }[/math] и дифференцируема в ней: [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{D}(x_0) }[/math].

Касательным вектором к графику функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] называется вектор с компонентами

• [math]\displaystyle{ \vec e = \frac{1}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_x + \frac{f'(x_0)}{\sqrt{1+f'(x_0)^2}} \cdot \vec e_y }[/math].

• Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] бесконечную производную [math]\displaystyle{ f'(x_0) = \pm \infty, }[/math] то касательный вектор

  [math]\displaystyle{ \vec e = \vec e_y }[/math].

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ p \in M }[/math] называется оператор [math]\displaystyle{ X }[/math], сопоставляющий каждой гладкой функции [math]\displaystyle{ f\colon M\to \R }[/math] число [math]\displaystyle{ X f }[/math] и обладающий следующими свойствами:

• аддитивность: [math]\displaystyle{ X(f+h)=Xf+Xh, }[/math]
• правило Лейбница: [math]\displaystyle{ X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh). }[/math]

Множество всех таких операторов в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

[math]\displaystyle{ (X+Y)f=Xf+Yf; }[/math]

[math]\displaystyle{ (k\cdot X)f=k\cdot(Xf), \ \forall k \in \R }[/math].

Совокупность всех касательных векторов в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке [math]\displaystyle{ p }[/math]. Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь [math]\displaystyle{ \mathbf{f}\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n }[/math].

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь [math]\displaystyle{ \mathbf{l}(t) }[/math], который его касается в момент времени t₀:

[math]\displaystyle{ \mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial t}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial t}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial t}(t_0)\mathbf{e}_n\right) }[/math].

Касание двух путей [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_1(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_2(t) }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_1(t)-\mathbf{f}_2(t)=o(t-t_0) }[/math]; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] гладкого подмногообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] евклидова пространства — вектор скорости в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] некоторой кривой в [math]\displaystyle{ M }[/math].

Иначе говоря, касательный вектор в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] подмногообразия, локально заданного параметрически

[math]\displaystyle{ r\colon\R^m\to \R^n }[/math] с [math]\displaystyle{ p=r(0)\ }[/math],

есть произвольная линейная комбинация частных производных [math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial x_i}(0) }[/math].

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости [math]\displaystyle{ C^1 }[/math].
• Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в [math]\displaystyle{ \R^{2n} }[/math]. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.