Теорема Уитни о вложении

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если [math]\displaystyle{ m }[/math] — степень двойки, то [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное проективное пространство невозможно вложить в [math]\displaystyle{ (2m-1) }[/math]-мерное евклидово пространство.

Схема доказательства

Случаи [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m=2 }[/math] устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая [math]\displaystyle{ m\geqslant 3 }[/math] используется факт, что гладкое отображение общего положения [math]\displaystyle{ f\colon M\to\R^{2m} }[/math] является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки [math]\displaystyle{ p,q\in \mathbb{R} ^{2m} }[/math] самопересечения отображения [math]\displaystyle{ f }[/math], имеющие разные знаки. Возьмем точки [math]\displaystyle{ x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M }[/math], для которых [math]\displaystyle{ f(x_{p})=f(y_{p})=p }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x_{q})=f(y_{q})=q }[/math]. Соединим [math]\displaystyle{ x_{p} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{q} }[/math] гладкой кривой [math]\displaystyle{ x\subset M }[/math]. Соединим [math]\displaystyle{ y_{p} }[/math] и [math]\displaystyle{ y_{q} }[/math] гладкой кривой [math]\displaystyle{ y\subset M }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f(x\cup y) }[/math] есть замкнутая кривая в [math]\displaystyle{ \mathbb {R} ^{2m} }[/math]. Далее построим отображение [math]\displaystyle{ h\colon D^2\to\R^{2m} }[/math] с границей [math]\displaystyle{ h(\partial D^2)=f(x\cup y) }[/math]. В общем положении, [math]\displaystyle{ h }[/math] является вложением и [math]\displaystyle{ h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2) }[/math] (как раз здесь используется то, что [math]\displaystyle{ m\geqslant 3 }[/math]). Тогда можно изотопировать [math]\displaystyle{ f }[/math] в маленькой окрестности диска [math]\displaystyle{ h(D^{2}) }[/math] так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для [math]\displaystyle{ m=1 }[/math] (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова [1].

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения [math]\displaystyle{ f\colon M\to\R^{2m} }[/math]. Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку [math]\displaystyle{ p\in\R^{2m} }[/math] самопересечения отображения [math]\displaystyle{ f }[/math]. Возьмем точки [math]\displaystyle{ x,y\in M }[/math], для которых [math]\displaystyle{ f(x)=f(y)=p }[/math]. Соединим [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] гладкой кривой [math]\displaystyle{ l\subset M }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f(l) }[/math] есть замкнутая кривая в [math]\displaystyle{ \R^{2m} }[/math]. Далее построим отображение [math]\displaystyle{ h\colon D^2\to\R^{2m} }[/math] с границей [math]\displaystyle{ h(\partial D^2)=f(l) }[/math]. В общем положении, [math]\displaystyle{ h }[/math] является вложением и [math]\displaystyle{ h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2) }[/math] (как раз здесь используется то, что [math]\displaystyle{ m\geqslant 3 }[/math]). Теперь можно изотопировать [math]\displaystyle{ f }[/math] в маленькой окрестности диска [math]\displaystyle{ h(D^{2}) }[/math] так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона [2] и параграфе 8 обзора Скопенкова [3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщения

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] есть гладкое [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное многообразие, [math]\displaystyle{ m\gt 1 }[/math].

  • Если [math]\displaystyle{ m }[/math] не является степенью двойки, тогда существует вложение [math]\displaystyle{ M }[/math] в [math]\displaystyle{ \R^{2m-1} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ M }[/math] может быть погружено в [math]\displaystyle{ \R^{2m-1} }[/math]
    • Более того [math]\displaystyle{ M }[/math] может быть погружено в [math]\displaystyle{ \R^{2m-a} }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] есть число единиц в двоичном представлении [math]\displaystyle{ m }[/math].
      • Последний результат оптимален, для любого [math]\displaystyle{ m }[/math] можно построить [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в [math]\displaystyle{ \R^{2m-a-1} }[/math].

См. также [4] [5]

Примечания

  1. ↑ В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий Архивная копия от 3 апреля 2010 на Wayback Machine
  2. ↑ C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
  3. ↑ Skopenkov, A. (1999), New Results on embedding of polyhedra and manifolds in Euclidean spaces, Russian Math. Surveys Т. 54 (6): 1149-1196 
  4. ↑ Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045>  Архивная копия от 25 июля 2020 на Wayback Machine
  5. ↑ Классификация вложений (англ.). Дата обращения: 18 декабря 2017. Архивировано 22 декабря 2017 года.

Литература

Оревков С.Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник "Математическое Просвещение". Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Уитни_о_вложении&oldid=5851274