Ограниченный оператор

Оператор [math]\displaystyle{ A:X\to Y }[/math] называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.

Линейный ограниченный оператор

Определения

Для линейного оператора часто приводят другие определения:

• Будем называть линейный оператор [math]\displaystyle{ A:X\to Y }[/math] ограниченным, если существует такая окрестность нуля [math]\displaystyle{ U }[/math], что [math]\displaystyle{ A(U) }[/math] является ограниченным множеством в [math]\displaystyle{ Y }[/math].
• Будем называть линейный оператор [math]\displaystyle{ A:X\to Y }[/math] в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число [math]\displaystyle{ C }[/math], что [math]\displaystyle{ \|Ax\| \le C\|x\| }[/math]. Наименьшее из таких чисел [math]\displaystyle{ C }[/math] обозначают через [math]\displaystyle{ \|A\| }[/math] и называют нормой оператора [math]\displaystyle{ A }[/math]. Иными словами,

[math]\displaystyle{ \|A\|=\sup_{\|x\|=1}{\|Ax\|} }[/math]

Свойства в F-пространствах

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

• Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.
• Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.