Изоморфизм категорий

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] изоморфны, если существуют функторы [math]\displaystyle{ F\colon C\to D }[/math] и [math]\displaystyle{ G\colon D\to C }[/math], которые являются обратными друг другу, то есть, [math]\displaystyle{ FG = 1_D }[/math] (функтор тождественности на [math]\displaystyle{ D }[/math]) и [math]\displaystyle{ GF= 1_C }[/math]. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы [math]\displaystyle{ FG }[/math] был равен to [math]\displaystyle{ 1_D }[/math], а лишь естественно изоморфен [math]\displaystyle{ 1_D }[/math], и аналогично [math]\displaystyle{ GF }[/math] был естественно изоморфен [math]\displaystyle{ 1_C }[/math].

Функтор [math]\displaystyle{ F\colon C\to D }[/math] создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора [math]\displaystyle{ G }[/math].

Примеры

Для конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math], поле [math]\displaystyle{ k }[/math] и групповой алгебры [math]\displaystyle{ kG }[/math] категория [math]\displaystyle{ k }[/math]-линейных представлений группы группы [math]\displaystyle{ G }[/math] изоморфна категории левых модулей над [math]\displaystyle{ kG }[/math]. Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы [math]\displaystyle{ \rho\colon G \to \mathbf{GL}(V) }[/math], где [math]\displaystyle{ V }[/math] — векторное пространство над [math]\displaystyle{ k }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{GL}(V) }[/math] является группой его [math]\displaystyle{ k }[/math]-линейных автоморфизмов, а [math]\displaystyle{ \rho }[/math] является гомоморфизмом групп, [math]\displaystyle{ V }[/math] переводится в левый [math]\displaystyle{ kG }[/math]-модуль следующим образом:

[math]\displaystyle{ \left(\sum_{g\in G} a_g g\right) v = \sum_{g\in G} a_g \rho(g)(v) }[/math]

для любого [math]\displaystyle{ v }[/math] из [math]\displaystyle{ V }[/math] и любого элемента [math]\displaystyle{ \sum a_g, g\in kG }[/math]. Обратно, если задан левый [math]\displaystyle{ kG }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ M }[/math], то [math]\displaystyle{ M }[/math] является [math]\displaystyle{ k }[/math]-векторным пространством, и умножение на элемент [math]\displaystyle{ g }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] приводит к [math]\displaystyle{ k }[/math]-линейному автоморфизму модуля [math]\displaystyle{ M }[/math] (поскольку [math]\displaystyle{ g }[/math] обратим в [math]\displaystyle{ kG }[/math]), что описывает групповой гомоморфизм [math]\displaystyle{ G\to \mathbf{GL}(M) }[/math].

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра [math]\displaystyle{ B }[/math] переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения [math]\displaystyle{ \land }[/math] в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math], то можно определить операцию объединения как [math]\displaystyle{ a \lor b=a+b+ab }[/math], а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если [math]\displaystyle{ C }[/math] является категорией с начальным объектом [math]\displaystyle{ s }[/math], то категория объектов «над» ([math]\displaystyle{ s{\downarrow}C }[/math]) изоморфна [math]\displaystyle{ C }[/math]. Двойственно, если [math]\displaystyle{ t }[/math] является терминальным объектом в [math]\displaystyle{ C }[/math], категория функтора ([math]\displaystyle{ C{\downarrow}t }[/math]) изоморфна [math]\displaystyle{ C }[/math].

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.