Симметрическая разность

Не следует путать с Разность множеств.

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], их симметрическая разность есть объединение элементов [math]\displaystyle{ A }[/math], не входящих в [math]\displaystyle{ B }[/math], с элементами [math]\displaystyle{ B }[/math], не входящими в [math]\displaystyle{ A }[/math]. На письме для обозначения симметрической разности множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] используется обозначение [math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B }[/math], реже используется обозначение [math]\displaystyle{ A\,\dot{-}\,B }[/math] или [math]\displaystyle{ A + B }[/math].

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — это такое множество [math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B }[/math], куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

[math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B = \left( A \setminus B \right) \cup \left ( B \setminus A \right). }[/math]

• симметрическая разность двух заданных множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — это такое множество [math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B }[/math], куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

[math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B = \left(A \cup B\right) \setminus \left(A \cap B\right). }[/math]

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

[math]\displaystyle{ A \bigtriangleup B = B\,\triangle\,A; }[/math]

• Симметрическая разность ассоциативна:

[math]\displaystyle{ \left(A \bigtriangleup B \right)\,\triangle\,C = A \bigtriangleup \left(B\,\triangle\,C\right); }[/math]

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

[math]\displaystyle{ A \cap \left(B \bigtriangleup C\right) = \left(A \cap B\right) \bigtriangleup \left(A \cap C\right); }[/math]

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

[math]\displaystyle{ A \bigtriangleup \varnothing = A; }[/math]

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

[math]\displaystyle{ A \bigtriangleup A = \varnothing; }[/math]

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2. }[/math]
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• [math]\displaystyle{ \left(A_1 \cap A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \cap B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right); }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(A_1 \cup A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1\cup B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right); }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(A_1 \setminus A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \setminus B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right); }[/math]

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

[math]\displaystyle{ A \cup B = A \bigtriangleup B \bigtriangleup \left(A \cap B \right), }[/math]

[math]\displaystyle{ A \setminus B = A \bigtriangleup \left(A \cap B \right). }[/math]

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

[math]\displaystyle{ (A \bigtriangleup B)\cup(A \cap B) = A \cup B }[/math]

Пример

Пусть

[math]\displaystyle{ A = \{1,2,3,4,5\},\quad B = \{3,4,5,6,7\}. }[/math]

Тогда

[math]\displaystyle{ A\,\triangle\,B = \{1,2,6,7\}. }[/math]

См. также

• Операции над множествами

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.