Категория запятой

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Общее определение

Категорию запятой [math]\displaystyle{ S \downarrow T }[/math] (обозначение Ловера — [math]\displaystyle{ (S,T) }[/math]) для функторов [math]\displaystyle{ S \colon \mathcal A \longrightarrow \mathcal C }[/math] и [math]\displaystyle{ T \colon \mathcal B \longrightarrow \mathcal C }[/math] можно построить следующим образом:

• объекты — все тройки вида [math]\displaystyle{ (\alpha, \beta, f) }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — объект [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — объект [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math], и [math]\displaystyle{ f \colon S(\alpha)\rightarrow T(\beta) }[/math] — морфизм в [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math],
• морфизмы из [math]\displaystyle{ (\alpha, \beta, f) }[/math] в [math]\displaystyle{ (\alpha', \beta', f') }[/math] — все пары [math]\displaystyle{ (g, h) }[/math], где [math]\displaystyle{ g : \alpha \rightarrow \alpha' }[/math], [math]\displaystyle{ h : \beta \rightarrow \beta' }[/math] — морфизмы в [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal B }[/math] соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} S(\alpha) & \xrightarrow{S(g)} & S(\alpha')\\ f \Bigg\downarrow & & \Bigg\downarrow f'\\ T(\beta) & \xrightarrow[T(h)]{} & T(\beta') \end{matrix} }[/math]

Композиция морфизмов [math]\displaystyle{ (g, h) \circ (g', h') }[/math] берётся как [math]\displaystyle{ (g \circ g', h \circ h') }[/math], если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта [math]\displaystyle{ (\alpha, \beta, f) }[/math] — это [math]\displaystyle{ (\mathrm{id}_{\alpha}, \mathrm{id}_{\beta}) }[/math].

Категории объектов и морфизмов

Категория объектов над заданным объектом [math]\displaystyle{ A \in \mathrm{Ob}\, \mathcal C }[/math] — категория запятой [math]\displaystyle{ \mathrm{Id}_\mathcal C \downarrow 1_A }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{Id}_\mathcal C \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal C }[/math] — тождественный функтор, а [math]\displaystyle{ 1_A \colon \textbf{1} \longrightarrow \mathcal C }[/math] — функтор из категории с одним объектом [math]\displaystyle{ * }[/math] и одним морфизмом, заданный как [math]\displaystyle{ 1(*) = A }[/math]. В этом случае используют обозначение [math]\displaystyle{ \mathcal{C} \downarrow A }[/math]. Объекты вида [math]\displaystyle{ (\alpha, *, f) }[/math] — это просто пары [math]\displaystyle{ (\alpha, f) }[/math], где [math]\displaystyle{ f \colon \alpha \rightarrow A }[/math]. Иногда в этой ситуации [math]\displaystyle{ f }[/math] обозначают как [math]\displaystyle{ \pi_\alpha }[/math]. Морфизм из [math]\displaystyle{ (B, \pi_B) }[/math] в [math]\displaystyle{ (B', \pi_{B'}) }[/math] — это морфизм [math]\displaystyle{ g \colon B \rightarrow B' }[/math], замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под [math]\displaystyle{ A }[/math] — [math]\displaystyle{ 1_A \downarrow \mathbf{Id}_\mathcal C }[/math]. В этом случае используют обозначение [math]\displaystyle{ A\downarrow \mathcal{C} }[/math]. Объекты — пары [math]\displaystyle{ (B, i_B) }[/math], где [math]\displaystyle{ i_B : A \rightarrow B }[/math]. Морфизм между [math]\displaystyle{ (B, i_B) }[/math] и [math]\displaystyle{ (B', i_{B'}) }[/math] — отображение [math]\displaystyle{ h : B \rightarrow B' }[/math], замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой [math]\displaystyle{ \mathrm{Id}_\mathcal C \downarrow \mathrm{Id}_\mathcal C }[/math], её объекты — морфизмы [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math], а морфизмы — коммутативные квадраты в [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math].

Примеры

Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой [math]\displaystyle{ \bull \downarrow \mathrm{Id}_\mathbf{Set} }[/math], где [math]\displaystyle{ \bull }[/math] — функтор, выбирающий некоторый синглетон и [math]\displaystyle{ \mathbf{Id}_\mathbf{Set} }[/math] — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой [math]\displaystyle{ \bull \downarrow \mathrm{Id}_\mathbf{Top} }[/math].

Категория графов — это категория запятой [math]\displaystyle{ \mathrm{Id}_\mathbf{Set} \downarrow D }[/math], где [math]\displaystyle{ D \colon \mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set} }[/math] — функтор, отправляющий [math]\displaystyle{ s }[/math] в [math]\displaystyle{ s \times s }[/math]. Объекты вида [math]\displaystyle{ (a, b, f) }[/math] состоят из двух множеств и функции; [math]\displaystyle{ a }[/math] — индексирующее множество для рёбер, [math]\displaystyle{ b }[/math] — множество вершин, тогда [math]\displaystyle{ f \colon a \rightarrow (b \times b) }[/math] выбирает пару элементов [math]\displaystyle{ b }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ a }[/math], то есть [math]\displaystyle{ f }[/math] выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер [math]\displaystyle{ b \times b }[/math]. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Забывающие функторы

Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза [math]\displaystyle{ S\downarrow T \to \mathcal A }[/math], который отображает:

• объекты: [math]\displaystyle{ (\alpha, \beta, f)\mapsto \alpha }[/math],
• морфизмы: [math]\displaystyle{ (g, h)\mapsto g }[/math],

и функтор образа [math]\displaystyle{ S\downarrow T \to \mathcal B }[/math], который отображает:

• объекты: [math]\displaystyle{ (\alpha, \beta, f)\mapsto \beta }[/math],
• морфизмы: [math]\displaystyle{ (g, h)\mapsto h }[/math].

Сопряжения

Функторы [math]\displaystyle{ F \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal D }[/math] и [math]\displaystyle{ G \colon \mathcal D \longrightarrow \mathcal C }[/math] сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой [math]\displaystyle{ F \downarrow \mathrm{Id}_\mathcal{D}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\mathrm{Id}_\mathcal{C} \downarrow G) }[/math] изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент [math]\displaystyle{ \mathcal{C} \times \mathcal{D} }[/math]. Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования

Если образы функторов [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в [math]\displaystyle{ S\downarrow T }[/math] с [math]\displaystyle{ \alpha=\beta, \alpha'=\beta', g=h }[/math] совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование [math]\displaystyle{ S\to T }[/math]. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида [math]\displaystyle{ S(\alpha)\to T(\alpha) }[/math], тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию [math]\displaystyle{ \eta:S\to T }[/math], где [math]\displaystyle{ S, T:\mathcal A \to \mathcal C }[/math] соответствует функтор [math]\displaystyle{ \mathcal A \to (S\downarrow T) }[/math] который отображает объект [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] в [math]\displaystyle{ (\alpha, \alpha, \eta_\alpha) }[/math] и морфизмы [math]\displaystyle{ g }[/math] в [math]\displaystyle{ (g, g) }[/math]. Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями [math]\displaystyle{ S\to T }[/math] и функторами [math]\displaystyle{ \mathcal A \to (S\downarrow T) }[/math], которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из [math]\displaystyle{ S\downarrow T }[/math].

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.