Булево кольцо

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо [math]\displaystyle{ (R, +, \cdot) }[/math], в котором [math]\displaystyle{ x^2 = x }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x \in R }[/math].

Связь с булевой алгеброй

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры [math]\displaystyle{ (B, \land, \lor, \lnot) }[/math] введением сложения и умножения следующим образом:

• [math]\displaystyle{ x + y = (x \land \lnot y) \lor (\lnot x \land y) }[/math],
• [math]\displaystyle{ x \cdot y = x \land y }[/math].

В частности, булеан некоторого множества [math]\displaystyle{ X }[/math] образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ [math]\displaystyle{ \oplus }[/math], а для умножения — знаки решёточной нижней грани ([math]\displaystyle{ \land }[/math], [math]\displaystyle{ \cap }[/math], [math]\displaystyle{ \sqcap }[/math]).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей [math]\displaystyle{ (R, +, \cdot, 1) }[/math] однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

• [math]\displaystyle{ x \land y = x \cdot y }[/math],
• [math]\displaystyle{ x \lor y = x + y + xy }[/math],
• [math]\displaystyle{ \lnot x = 1 + x }[/math].

Свойства

В каждом булевом кольце [math]\displaystyle{ (R, +, \cdot) }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ x + x = 0 }[/math] как следствие идемпотентности относительно умножения:

[math]\displaystyle{ x + x = (x + x)^2 = x + x + x + x }[/math],

и так как [math]\displaystyle{ (R, +) }[/math] в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент [math]\displaystyle{ x + x }[/math] из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

[math]\displaystyle{ x + y = (x + y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + y + xy + yx }[/math],

что даёт [math]\displaystyle{ xy + yx = 0 }[/math], что, в свою очередь, означает [math]\displaystyle{ xy = yx }[/math].

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 ([math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]) и обладает единицей.

Факторкольцо [math]\displaystyle{ R/I }[/math] любого булева кольца по произвольному идеалу [math]\displaystyle{ I }[/math] также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал [math]\displaystyle{ P }[/math] в булевом кольце [math]\displaystyle{ R }[/math] является максимальным: факторкольцо [math]\displaystyle{ R/P }[/math] является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_2 }[/math], что показывает максимальность [math]\displaystyle{ P }[/math]. Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый идеал с конечным числом образующих булева кольца является главным.

Литература

• M. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1969. — ISBN 978-0-201-40751-8.
• John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra. — 2nd. — Reading: Addison-Wesley, 1976. — ISBN 0-201-01984-1.
• I. N. Herstein. Topics In Algebra. — Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. — ISBN 978-1114541016.
• Neal H. McCoy. Introduction To Modern Algebra. — revised. — Boston: Allyn and Bacon, 1968.