Лемма Бёрнсайда
Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — конечная группа, действующая на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных точек в [math]\displaystyle{ X }[/math] элементами [math]\displaystyle{ G }[/math].
Точнее, для любого элемента [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] будем обозначать через [math]\displaystyle{ X^g }[/math] множество элементов [math]\displaystyle{ X }[/math], оставляемых на месте [math]\displaystyle{ g }[/math], то есть
- [math]\displaystyle{ X^g=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}. }[/math]
Тогда (натуральное число или бесконечность)
- [math]\displaystyle{ |X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|, }[/math]
здесь [math]\displaystyle{ |X/G| }[/math] обозначает число орбит действия.
Доказательство
Число орбит равно [math]\displaystyle{ \sum_{m\in X}\frac{1}{|Orb(m)|} }[/math] , но по формуле орбит [math]\displaystyle{ |Orb(m)|=[G:G_m]=\frac{|G|}{|G_m|} }[/math] ,где [math]\displaystyle{ G_m }[/math] означает стабилизатор элемента [math]\displaystyle{ m }[/math], значит сумма равна [math]\displaystyle{ \frac{1}{|G|}\sum_{m\in X}|G_m| }[/math] . Выпишем в столбик все элементы [math]\displaystyle{ X }[/math] и напишем рядом с каждым [math]\displaystyle{ m }[/math] те элементы [math]\displaystyle{ G }[/math] , которые оставляют данный элемент неподвижным . Тогда произвольный элемент [math]\displaystyle{ g }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] встретится такое же число раз , какое он оставляет элементы [math]\displaystyle{ X }[/math] неподвижными , то есть в точности [math]\displaystyle{ |X^g| }[/math] раз , а потому сумма [math]\displaystyle{ \sum_{m \in X}|G_m| }[/math] равна сумме [math]\displaystyle{ \sum_{g \in G}|X^g| }[/math] , что и утверждалось .
Следствия
- Если действие конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] транзитивно, то
- [math]\displaystyle{ \sum_{g\in G}|X^g|=|G|. }[/math]
История
Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.
Литература
- Burnside, William. Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.
- Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, at Project Gutenberg and here at Archive.org. (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений.)
- Frobenius, Ferdinand Georg (1887), Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle Т. CI: 288.
- Neumann, Peter M. (1979), A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist Т. 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685.
- Rotman, Joseph (1995), An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8.