Гиперболоидная модель
Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности [math]\displaystyle{ S^+ }[/math] двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений[англ.] является подгруппой проективной группы.
Квадратичная форма Минковского
Если [math]\displaystyle{ (x_0, x_1, \dots, x_n) }[/math] являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве [math]\displaystyle{ \R^{n+1} }[/math], квадратичная форма Минковского определяется как
- [math]\displaystyle{ Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \ldots - x_n^2. }[/math]
Вектора [math]\displaystyle{ v \in \R^{n+1} }[/math], такие, что [math]\displaystyle{ Q(v) = 1 }[/math], образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист [math]\displaystyle{ S^+ }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0 \gt 0 }[/math] и нижний, или прошлое, лист [math]\displaystyle{ S^- }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0 \lt 0 }[/math]. Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего [math]\displaystyle{ S^+ }[/math].
Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,
- [math]\displaystyle{ B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = (Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v})) / 2 . }[/math]
Или в явном виде,
- [math]\displaystyle{ B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = x_0y_0 - x_1 y_1 - \ldots - x_n y_n . }[/math]
Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства [math]\displaystyle{ S^+ }[/math] задаётся формулой [math]\displaystyle{ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \operatorname{\mathrm{arch}}(B(\mathbf{u}, \mathbf{v})) }[/math],
где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.
Прямые
Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с
- [math]\displaystyle{ B (\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ B (\mathbf{v}, \mathbf{v}) = -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ B (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = B (\mathbf{v}, \mathbf{u}) = 0 }[/math]
и используем w как параметр для точек на геодезической, то
- [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\,\mathrm{ch}\,w + \mathbf{v}\,\mathrm{sh}\, w }[/math]
будет точкой на геодезической[1].
Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.
Движения
Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O+(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO+(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & A & \\ 0 & & & \\ \end{pmatrix} }[/math]
где [math]\displaystyle{ A }[/math] принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,
- [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^n=\mathrm{SO}^{+}(1,n)/\mathrm{SO}(n). }[/math]
Группа SO+(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.
История
- В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм Киллинг[2][3][4] использовал представление геометрии Лобачевского, которое он приписывает Карлу Вейерштрассу. В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как [math]\displaystyle{ k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2} }[/math] или для произвольных размерностей [math]\displaystyle{ k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=k^{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ k }[/math] является двойственной мерой кривизны, [math]\displaystyle{ k^{2}=\infty }[/math] означает евклидову геометрию, [math]\displaystyle{ k^{2}\gt 0 }[/math] эллиптическую геометрию, а [math]\displaystyle{ k^{2}\lt 0 }[/math] означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Киллинг»[англ.].
- Согласно Джереми Грею (1986)[5] Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы [math]\displaystyle{ \xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}=-1 }[/math][6]. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре[7]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Пуанкаре»[англ.].
- Также Хомершем Кокс в 1882[8][9] использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению [math]\displaystyle{ z^{2}-x^{2}-y^{2}=1 }[/math], а также соотношению [math]\displaystyle{ w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1 }[/math]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Кокс»[англ.].
- Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений [math]\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2} }[/math][10]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Линдерман»[англ.].
- Координаты Вейерштрасса использовали также Герард (1892), Хаусдорф (1899), Вудс (1903) и Либман (1905)[англ.].
Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], координаты Вейерштрасса точки [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] равны
- [math]\displaystyle{ (x , \sqrt {1 + \langle x,x \rangle}) \in \mathbb{R}^{n+1}, }[/math]
что можно сравнить с выражением
- [math]\displaystyle{ (x, \sqrt {1 - \langle x,x \rangle})\in \mathbb{R}^{n+1} }[/math]
для модели полусферы[11].
Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн[англ.] в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как
- [math]\displaystyle{ \mathrm{sh}\, A + \alpha \,\mathrm{sh}\, A, }[/math]
где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов[англ.] путём использования алгебры физики[англ.][1].
Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»[12]. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly[13].
Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.
В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак[англ.] для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса[15].
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Macfarlane, 1894.
- ↑ Killing, 1878, с. 72-83.
- ↑ Killing, 1880, с. 265-287.
- ↑ Killing, 1885.
- ↑ Gray, 1986, с. 271-2.
- ↑ Poincaré, 1881, с. 132 -138.
- ↑ Poincaré, 1887, с. 71-91.
- ↑ Cox, 1881, с. 178-192.
- ↑ Cox, 1882, с. 193-215.
- ↑ Lindemann, 1891, с. 524.
- ↑ Deza E., Deza M., 2006.
- ↑ Jansen, 1909, с. 409-440.
- ↑ Reynolds, 1993, с. 442-55.
- ↑ Scott, 1999, с. 91–127.
- ↑ Varićak, 1912, с. 103–127.
Литература
- Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1878. — Bd. 86. — S. 72-83.
- Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1880. — Bd. 89. — S. 265-287.
- Killing W. Die nicht-euklidischen Raumformen (нем.). — 1885.
- Jeremy Gray. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré (англ.). — 1986. — P. 271-2.
- Poincaré H. Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques (фр.) // Association française pour l'avancement des sciences. — 1881. — Vol. 10. — P. 132-138.
- Poincaré H. On the fundamental hypotheses of geometry // Collected works (англ.). — 1887. — Vol. 11. — P. 71-91.
- Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1881. — Vol. 18, iss. 70. — P. 178-192.
- Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (continued) (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1882. — Vol. 18, iss. 71. — P. 193-215.
- Lindemann F. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II (нем.). — Leipzig, 1891. — S. 524.
- Elena Deza, Michel Deza. Dictionary of Distances (англ.). — 2006.
- Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (нем.) // Mitt. Math. Gesellsch Hamburg. — 1909. — H. 4. — S. 409-440.
- Alexander Macfarlane. Papers on Space Analysis (англ.). — New York: B. Westerman, 1894.
- Alekseevskij D.V., Vinberg E.B., Solodovnikov A.S. Geometry of Spaces of Constant Curvature (англ.). — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-52000-7.
- James Anderson. Hyperbolic Geometry (англ.). — 2nd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — (Springer Undergraduate Mathematics Series). — ISBN 978-1-85233-934-0.
- John G. Ratcliffe. Глава 3 // Foundations of hyperbolic manifolds (англ.). — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. — ISBN 978-0-387-94348-0.
- Miles Reid, Balázs Szendröi. Geometry and Topology (англ.). — Cambridge University Press, 2005. — P. Figure 3.10, p 45. — ISBN 0-521-61325-6.
- Patrick J. Ryan. Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach (англ.). — Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1986. — ISBN 0-521-25654-2.
- William F. Reynolds. Hyperbolic geometry on a hyperboloid (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1993. — Iss. 100. — P. 442-55.
- Scott Walter. The non-Euclidean style of Minkowskian relativity // The Symbolic Universe: Geometry and Physics (англ.) / J. Gray. — Oxford University Press, 1999. — P. 91–127.
- Varićak V. On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity (англ.) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1912. — Vol. 21. — P. 103–127.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |