Геометрия Римана
Геометрия Римана (называемая также эллиптическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий постоянной кривизны (другие — это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия). Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной (в двумерном случае — на проективной плоскости и локально на сфере).
В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но в геометрии Римана нет параллельных прямых. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула [math]\displaystyle{ \Sigma = \pi + {S}/{R^2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] — сумма углов треугольника, [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус сферы, на которой реализована геометрия.
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0.jpg&width=250)
Двумерная геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. При отождествлении противоположных точек сферы получается проективная плоскость, геометрия которой удовлетворяет аксиомам геометрии Римана.
Именно, рассмотрим сферу [math]\displaystyle{ S }[/math] с центром в точке [math]\displaystyle{ O }[/math] в трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ E }[/math]. Каждая точка [math]\displaystyle{ A \in S }[/math] вместе с центром сферы [math]\displaystyle{ O }[/math] определяет некоторую прямую [math]\displaystyle{ l \subset E }[/math], то есть некоторую точку [math]\displaystyle{ A_* }[/math] проективной плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math]. Сопоставление [math]\displaystyle{ A \to A_* }[/math] определяет отображение [math]\displaystyle{ S \to \Pi }[/math], большие круги на [math]\displaystyle{ S }[/math] (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], при этом в одну точку [math]\displaystyle{ A_*\in \Pi }[/math] переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой [math]\displaystyle{ A \in S }[/math] и диаметрально противоположная ей точка [math]\displaystyle{ A' \in S }[/math] (см. рисунок). Евклидовы движения пространства [math]\displaystyle{ E }[/math], переводящие сферу [math]\displaystyle{ S }[/math] в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.
Одно из отличий геометрии Римана от евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского состоит в том, что в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B» (в сферической геометрии это понятие также отсутствует). Действительно, на прямую проективной плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] отображается большой круг на сфере [math]\displaystyle{ S }[/math], причём две диаметрально противоположные точки сферы [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ A' }[/math] переходят в одну точку [math]\displaystyle{ A_* \in \Pi }[/math]. Аналогично, точки [math]\displaystyle{ B, B' }[/math] переходят в одну точку [math]\displaystyle{ B_* \in \Pi }[/math] и точки [math]\displaystyle{ C, C' }[/math] переходят в одну точку [math]\displaystyle{ C_* \in \Pi }[/math]. Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка [math]\displaystyle{ C_* }[/math] лежит между [math]\displaystyle{ A_* }[/math] и [math]\displaystyle{ B_* }[/math] и что она не лежит между ними (см. рисунок).
Литература
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
- Берже М. Геометрия. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
- Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
- Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.
- Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.