Несчётное множество

Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества [math]\displaystyle{ X }[/math]:

• не существует инъективного отображения [math]\displaystyle{ X }[/math] во множество натуральных чисел [math]\displaystyle{ \N }[/math];
• [math]\displaystyle{ X }[/math] не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов [math]\displaystyle{ X }[/math] существует по крайней мере один элемент [math]\displaystyle{ X }[/math], не входящий в неё;
  • иными словами: [math]\displaystyle{ X }[/math] непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел [math]\displaystyle{ \N }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math];
• мощность [math]\displaystyle{ X }[/math] не является ни конечной, ни равной [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math].

Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:

• мощность [math]\displaystyle{ X }[/math] строго превышает [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]

— требует привлечения аксиомы выбора.

Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.

Литература

• М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.