Мономорфизм

Мономорфи́зм ― морфизм [math]\displaystyle{ m:A\to B }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], такой что из всякого равенства [math]\displaystyle{ m\circ f=m\circ h }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ f=h }[/math] (другими словами, на [math]\displaystyle{ m }[/math] можно сокращать слева). Часто мономорфизм из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] обозначают [math]\displaystyle{ X \hookrightarrow Y }[/math].

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостью

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если [math]\displaystyle{ l }[/math] — левый обратный к [math]\displaystyle{ f }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ l \circ f = \operatorname{id}_{X} }[/math]), то:

[math]\displaystyle{ f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow lfg_1 = lfg_2 \Rightarrow g_1 = g_2 }[/math].

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп [math]\displaystyle{ \mathbf{Grp} }[/math], если [math]\displaystyle{ H }[/math] является подгруппой [math]\displaystyle{ G }[/math], то вложение [math]\displaystyle{ f: H \to G }[/math] — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм [math]\displaystyle{ f: H \to G }[/math] существует, только если у [math]\displaystyle{ H }[/math] есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм [math]\displaystyle{ f : X \to Y }[/math] является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение [math]\displaystyle{ f_{*} : \mathrm{Hom} ( Z, X ) \to \mathrm{Hom} ( Z, Y ) }[/math], определённое как [math]\displaystyle{ f_{*}h = f \circ h }[/math] для морфизмов [math]\displaystyle{ h : Z \to X }[/math], инъективно для всех Z.

Связь с инъективностью

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории [math]\displaystyle{ \mathbf{Div} }[/math] делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации [math]\displaystyle{ q : \Q \to \Q/\Z }[/math].

Типы мономорфизмов

Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.

Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде [math]\displaystyle{ g \circ e }[/math] с эпиморфизмом [math]\displaystyle{ e }[/math], то [math]\displaystyle{ e }[/math] — изоморфизм.

Терминология

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.