Функция Эйри

График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

[math]\displaystyle{ y'' - xy \,=\, 0\,, }[/math]

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри). Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) }[/math] (которая при [math]\displaystyle{ x \rightarrow -\infty }[/math] имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при [math]\displaystyle{ x \rightarrow +\infty }[/math] монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) }[/math] (которая при [math]\displaystyle{ x \rightarrow -\infty }[/math] также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при [math]\displaystyle{ x \rightarrow +\infty }[/math] монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy). В 1946 году Джеффри Миллер добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.

В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

Для действительных [math]\displaystyle{ x }[/math] функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty\!\cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt\,, }[/math]

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

[math]\displaystyle{ y'' - xy \,=\, 0\,. }[/math]

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x), }[/math] у которой при [math]\displaystyle{ x \rightarrow -\infty }[/math] колебания имеют ту же амплитуду, что и у [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x), }[/math] но отличаются по фазе на [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math]. Для действительных [math]\displaystyle{ x }[/math] функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]\, dt\,. }[/math]

Для комплексных [math]\displaystyle{ z }[/math] функция Эйри [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(z) }[/math] определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(z) \,=\, \int\limits_{\gamma_1}\!\exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right)\,dp\,, }[/math]

где контур [math]\displaystyle{ \gamma_1 }[/math] представлен на рисунке. Контуры [math]\displaystyle{ \gamma_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma_3 }[/math] также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(z) }[/math] при произвольном комплексном [math]\displaystyle{ z }[/math] связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(z) \,=\, i\omega^2\,\operatorname{Ai}\,(\omega^2 z)- i\omega\,\operatorname{Ai}\,(\omega z)\,, \quad \omega = e^{2\pi{i/3}}\,. }[/math]

Свойства

В точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] функции [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) }[/math] и их первые производные имеют такие значения:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ai}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{2/3}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,\approx\, 0,355\,028\,053\,887\,817\,, & \quad \operatorname{Ai}'\,(0) \,=\, -\frac{1}{3^{1/3}\,\Gamma\left(\frac13\right)}\,\approx\, -0,258\,819\,403\,792\,807\,, \\ \operatorname{Bi}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{1/6}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,=\, \operatorname{Ai}\,(0)\,\sqrt{3}\,, & \quad \operatorname{Bi}'\,(0) \,=\, \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)} \,=\, -\operatorname{Ai}'\,(0)\,\sqrt{3}\,. \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция. Отсюда следует, что при [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] вронскиан функций [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) }[/math] равен [math]\displaystyle{ 1/\pi }[/math].

При положительных [math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) }[/math] — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) }[/math] — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных [math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}\,(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{Bi}\,(x) }[/math] колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

При [math]\displaystyle{ x, }[/math] стремящемся к [math]\displaystyle{ +\infty }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{Ai}\,(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}\,(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{Ai}\,(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}\,(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. \end{align} }[/math]

Комплексный аргумент

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

[math]\displaystyle{ \mathrm{Ai}\,(z) \,=\, \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt\,, }[/math]

где интеграл берётся по контуру [math]\displaystyle{ C, }[/math] начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом [math]\displaystyle{ -\dfrac{\pi}{3} }[/math] и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом [math]\displaystyle{ \dfrac{\pi}{3} }[/math]. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ y'' - xy = 0 }[/math] для продолжения [math]\displaystyle{ \mathrm{Ai}\,(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Bi}\,(x) }[/math] до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для [math]\displaystyle{ \mathrm{Ai}\,(x) }[/math] остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение [math]\displaystyle{ x^{2/3} }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math] не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для [math]\displaystyle{ \mathrm{Bi}\,(x) }[/math] верна, если x лежит в секторе [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{C}\,:\,|\text{arg}\,x| \lt \frac{\pi - \delta}{3} \right\} }[/math] для некоторого положительного [math]\displaystyle{ \delta }[/math]. Формулы для [math]\displaystyle{ \mathrm{Ai}\,(-x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Bi}\,(-x) }[/math] верны, если x лежит в секторе [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{C}\,:\,|\text{arg}\,x| \lt \frac{2(\pi - \delta)}{3} \right\} }[/math].

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции [math]\displaystyle{ \mathrm{Ai}\,(x) }[/math] на комплексной плоскости нет других нулей, а функция [math]\displaystyle{ \mathrm{Bi}\,(x) }[/math] имеет бесконечно много нулей в секторе [math]\displaystyle{ \left\{z\in\mathbb{C}\, : \,\frac{\pi}{3} \lt |\text{arg}\, z| \lt \frac{\pi}{2} \right\} }[/math].

Связь с другими специальными функциями

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{Ai}\,(x) \,=\, \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\,, \\ \mathrm{Bi}\,(x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,. \end{align} }[/math]

где I_±1/3 и K_1/3 — решения уравнения [math]\displaystyle{ x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0 }[/math].

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{Ai}\,(-x) \,=\, \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,, \\ \mathrm{Bi}\,(-x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,. \end{align} }[/math]

где J_±1/3 — решения уравнения [math]\displaystyle{ x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0 }[/math].

Функции Скорера являются решениями уравнения [math]\displaystyle{ y'' - xy = 1/\pi. }[/math] Они также могут быть выражены через функции Эйри:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{Gi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int\limits_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,, \\ \mathrm{Hi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,. \end{align} }[/math]

См. также

• Луч Эйри

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — (Теоретическая физика, т. III).
• Попов Б. А., Теслер Г. С. . Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наукова думка, 1984. — 599 с.
• Airy G. B. . On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic // Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1838, 6. — P. 379—402.
• Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Ed. by M. Abramowitz and I. A. Stegun. — New York: Academic Press, 1954. — xiv + 1046 p. (недоступная ссылка)  (See § 10.4).
• Olver F. W. G. . Chapter 11. Differential Equations with a Parameter: Turning Points // Asymptotics and Special Functions. — New York: Academic Press, 1974. — xvi + 571 p. — (Computer Science and Applied Mathematics). — P. 392—434.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Airy Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
•  (недоступная ссылка с 02-10-2015 [3193 дня])Chapter AI: Airy and related functions in the Digital library of mathematical functions.