Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции [math]\displaystyle{ \varphi_{n} }[/math] удовлетворяют свойству: [math]\displaystyle{ \varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N }[/math] для некоторой предельной точки [math]\displaystyle{ L }[/math] области определения функции f(x). Последовательность функций [math]\displaystyle{ \varphi_{n} }[/math], удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x) }[/math], для которого выполняются условия :[math]\displaystyle{ f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L) }[/math]

или эквивалентно:

[math]\displaystyle{ f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L). }[/math]

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

[math]\displaystyle{ f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L). }[/math]

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном [math]\displaystyle{ x }[/math] ряд сходится в значение [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] при [math]\displaystyle{ N \rightarrow \infty }[/math], тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном [math]\displaystyle{ N }[/math] ряд сходится в значение [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в пределе [math]\displaystyle{ x \rightarrow L }[/math] ([math]\displaystyle{ L }[/math] может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x) }[/math] называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность [math]\displaystyle{ \psi_{n} }[/math], что

[math]\displaystyle{ f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L). }[/math]

Этот факт записывается в следующем виде:

[math]\displaystyle{ f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}. }[/math]

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

[math]\displaystyle{ \frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \rightarrow \infty) }[/math]

• Интегральная показательная функция

[math]\displaystyle{ xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty) }[/math]

• Дзета-функция Римана

[math]\displaystyle{ \zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N}n^{-s} - \frac{N^{1-s}}{s-1} - \frac{1}{2}N^{-s} + N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}} }[/math]
где [math]\displaystyle{ B_{2m} }[/math] — числа Бернулли и [math]\displaystyle{ s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2) }[/math]. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

[math]\displaystyle{ \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}. }[/math]

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

[math]\displaystyle{ \frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\ \{(\log x)^{-n}\}. }[/math]

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975