Операторная алгебра

Операторная алгебра — алгебра операторов, действующих на топологическом векторном пространстве. Операторные алгебры активно применяются в теории представлений и в дифференциальной геометрии, в квантовой механике и в квантовой статистической физике, в квантовой теории поля и в современной классической механике.

Такие алгебры могут использоваться для изучения различных множеств операторов. С этой точки зрения, операторные алгебры могут рассматриваться как обобщение спектральной теории одного оператора.

Операторная алгебра представляет собой множество операторов, на котором определены алгебраические и топологические структуры. В общем случае в операторных алгебрах используются некоммутативные кольца. Обычно в операторных алгебрах требуется замкнутость относительно одной из топологий, определяемых на операторах.

Одним из примеров операторных алгебр являются алгебры фон Неймана (они же W*-алгебры), определяемые как *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве с операцией эрмитова сопряжения, замкнутая относительно слабой операторной топологии и содержащая 1. Та же самая структура сопряжения на операторах в гильбертовом пространстве позволяет строить представления С*-алгебр в виде операторных алгебр, замкнутых в операторной топологии.

См. также

Функциональный анализ
Теория операторов
Оператор Гильберта — Шмидта
Дифференциальная алгебра.
Алгебра вершинных операторов (Вертексная алгебра)

Литература

Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. — М.: Факториал, 1997. — 336 с. — ISBN 5-88688-016-X
Диксмье Ж. С* — алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974. — 399 с. Архивная копия от 14 августа 2021 на Wayback Machine
Итоги науки и техники // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 27. Сборник статей. — М.: Наука, 1985. — 230 с.
Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — М.: РХД, 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
Марченко В. А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. — Киев: Наукова думка, 1986. — 155 с.
Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 512 c. Архивная копия от 16 апреля 2012 на Wayback Machine
Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. — М.: Мир, 1976. — 424 с. Архивная копия от 16 апреля 2012 на Wayback Machine
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука, 1987. — 616 с. Архивная копия от 8 апреля 2012 на Wayback Machine
Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. C*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.: Факториал, 1996. — 352 c.
Мануйлов В. М., Троицкий Е. В. С*-гильбертовы модули. — М.: Факториал, 2001. — 224 с. — ISBN 5-88688-052-6
Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7
Садовничий В. А. Теория операторов. — 4-е изд. — М.: Дрофа, 2001. — 384 с. — ISBN 5-7107-4297-X Архивная копия от 28 января 2019 на Wayback Machine
Неретин Ю. А. Представления алгебры Вирасоро и афинных алгебр. — 1988. Архивная копия от 24 апреля 2012 на Wayback Machine
Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 409 с. Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. — М.: Мир, 1978. Архивная копия от 28 марта 2012 на Wayback Machine

Литература на английском языке

Arveson W. «An Introduction to C*-algebras», Springer, New York, 1976.
Bratteli O. «Derivations, Dissipations and Group Actions on C*-algebras», Springer, Berlin, 1986.
Landsman N. P. «Mathematical Topics between Classical and Quantum Mechanics», Springer, New York, 1998. Архивная копия от 14 августа 2021 на Wayback Machine
Sakai S. «C*-algebras and W*-algebras», Springer, New York, Berlin, 1971.
Schwartz J. T. «W*-algebras», New York, 1967.
Takesaki M. «Theory of Operator Algebras», Springer, New York, 1979; 2nd Ed., Springer, Berlin, 2002. Архивная копия от 14 августа 2021 на Wayback Machine

Ссылки

С*-алгебра Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine