Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта
Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения [math]\displaystyle{ \mathbf{V} }[/math] и угловой скоростью вращательного движения [math]\displaystyle{ \mathbf{\Omega} }[/math].
В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет вид[1][2]:
- [math]\displaystyle{ m \frac {d \mathbf{v}_0} {dt} = - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}}, }[/math]
в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»)[3]:
- [math]\displaystyle{ m \frac {d \mathbf{v}} {dt} = - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} + m [\mathbf{r} \frac {d \mathbf{\Omega}} {dt}] + 2 m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega}] + m [\mathbf{\Omega}[\mathbf{r} \mathbf{\Omega}]], }[/math] (1)
где:
- жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
- индекс [math]\displaystyle{ _0 }[/math] относится к величинам в ИСО;
- [math]\displaystyle{ t }[/math] — время;
- [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса точки;
- [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] — вектор скорости точки;
- [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] — радиус-вектор точки;
- [math]\displaystyle{ U }[/math] — потенциальная энергия.
Вывод формулы
Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движений[4]. Потому переход от ИСО К0 к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К0 к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К0 со скоростью [math]\displaystyle{ \mathbf{V} }[/math], а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью [math]\displaystyle{ \mathbf{\Omega} }[/math].
Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.
Лагранжиан в К',
- [math]\displaystyle{ L' = \frac {m \mathbf{v}'^2} {2} + m \mathbf{v}' \mathbf{V} + \frac {m \mathbf{V}^2} {2} - U, }[/math] (2)
получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_0 = \mathbf{v}' + \mathbf{V} }[/math] в лагранжиан, записанный в ИСО[5]:
- [math]\displaystyle{ L_0 = \frac {m \mathbf{v}_0^2} {2} - U. }[/math]
Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.
Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) [math]\displaystyle{ \mathbf{V}^2 }[/math] является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку [math]\displaystyle{ \mathbf{v}' = \frac {d \mathbf{r}'} {dt} }[/math],
- [math]\displaystyle{ m \mathbf{v}' \mathbf{V} = m \mathbf{V} \frac {d \mathbf{r}'} {dt} = \frac d {dt} (m \mathbf{V} \mathbf{r}') - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r}', }[/math]
где полная производная [math]\displaystyle{ m \mathbf{V} \mathbf{r}' }[/math] по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в
- [math]\displaystyle{ L' = \frac {m \mathbf{v}'^2} {2} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r}' - U. }[/math] (3)
При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на [math]\displaystyle{ [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] }[/math]. При подстановке [math]\displaystyle{ \mathbf{v}' = \mathbf{v} + [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] }[/math] в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что [math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}' }[/math]):
- [math]\displaystyle{ L = \frac {m \mathbf{v}^2} {2} + m \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + \frac m {2} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}]^2 - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r} - U. }[/math]
Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:
- [math]\displaystyle{ dL = m \mathbf{v} d \mathbf{v} + m d \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + m \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} d \mathbf{r}] + m [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] [\mathbf{\Omega} d \mathbf{r}] - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} d \mathbf{r} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} d \mathbf{r} }[/math].
Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:
- [math]\displaystyle{ dL = m \mathbf{v} d \mathbf{v} + m d \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + m d \mathbf{r} [\mathbf{v} \mathbf{\Omega} ] + m [[\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] \mathbf{\Omega}] d \mathbf{r} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} d \mathbf{r} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} d \mathbf{r}. }[/math]
Частные производные лагранжиана по [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] соответственно будут:
- [math]\displaystyle{ \frac {\partial L} {\partial \mathbf{v}} = m \mathbf{v} + m [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}], }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac {\partial L} {\partial \mathbf{r}} = m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega} ] + m [[\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] \mathbf{\Omega}] - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}}. }[/math]
После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа
- [math]\displaystyle{ \frac d {d t} \frac {\partial L} {\partial \mathbf{v}} = \frac {\partial L} {\partial \mathbf{r}}, }[/math]
получается формула (1).
Физический смысл
Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.[6]
При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.[7][8]
Выражение [math]\displaystyle{ m \frac {d \mathbf{v}} {dt} }[/math] — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1)[9].
Частная производная потенциальной энергии [math]\displaystyle{ U }[/math] частицы во внешнем поле по радиусу—вектору [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников[9],
- [math]\displaystyle{ -\frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} }[/math].
Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид
- [math]\displaystyle{ m \frac {d \mathbf{V}} {dt} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \frac {d \mathbf{V}} {dt} }[/math] — ускорение поступательного движения системы отсчёта [math]\displaystyle{ K' }[/math][9].
«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.
Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта[9]:
- [math]\displaystyle{ m [\mathbf{r} \frac {d \mathbf{\Omega}} {dt}] }[/math].
Вторая часть
- [math]\displaystyle{ 2 m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega}] }[/math]
является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы[9].
Третья часть представлена переносной центробежной силой
- [math]\displaystyle{ m [\mathbf{\Omega}[\mathbf{r} \mathbf{\Omega}]] }[/math].
Она лежит в плоскости, проходящей через [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{\Omega} }[/math], и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению [math]\displaystyle{ \mathbf{\Omega} }[/math]), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна [math]\displaystyle{ m\rho\Omega^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — расстояние от частицы до оси вращения.[9]
Примечания
- ↑ Ландау, Лифшиц, 1988, с. 163.
- ↑ Под производной скалярной величины по вектору здесь и далее понимается вектор, компоненты которого представляют собой производные этой скалярной величины по соответствующим компонентам вектора.
- ↑ Ландау, Лифшиц, 1988, с. 165.
- ↑ Арнольд, 1979, с. 107.
- ↑ Ландау, Лифшиц, 1988, с. 164.
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 166—168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
- ↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. - 20.- Москва «Высшая школа», 2010, — С. 156 — 416 с. ISBN 978-5-06-006193-2
- ↑ Николаев В. И. Силы инерции в общем курсу физики.—"Физическое образование в вузах", т.6, N 2, 2000г. — ISSN 1609-3143 (print), 1607-2340 (on-line).
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 34. Движение двёрдого тела. //Т. I. Механика. Теоретическая физика. — 5. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— С. 168. — 222 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
Литература
- Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. § 39. Движение в неинерциальной системе отсчёта // Теоретическая физика . — М.: Наука, 1988. — Т. I. Механика. — С. 163-167. — 216 с. — ISBN 5-02-013850-9.
- В. И. Арнольд. § 26. Движение в подвижной системе координат // Математические методы классической механики . — М.: Наука, 1979. — С. 106—110. — 432 с.