Тривиальная топология

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество. Семейство подмножеств [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{X,\varnothing\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией сли́пшихся точек. Пара [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math] называется тривиа́льным (иначе: антидискретным) топологи́ческим простра́нством.

Замечание

Если множество [math]\displaystyle{ X }[/math] содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.

Свойства

Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ \varnothing. }[/math]
Антидискретная топология обладает единственной базой: [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{X\}. }[/math]
Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т₃, T_3½, Т₄ ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т₁.
Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
Любая последовательность точек из [math]\displaystyle{ X }[/math] сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
Внутренность произвольного собственного подмножества [math]\displaystyle{ A \subsetneq X }[/math] пуста.
Замыкание произвольного непустого подмножества [math]\displaystyle{ A \subset X }[/math] совпадает с [math]\displaystyle{ X }[/math]. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в [math]\displaystyle{ X. }[/math]
Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.

См. также

Дискретная топология.