Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁ (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] должна существовать окрестность точки [math]\displaystyle{ x }[/math], не содержащая точку [math]\displaystyle{ y }[/math], и окрестность точки [math]\displaystyle{ y }[/math], не содержащая точку [math]\displaystyle{ x }[/math]. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂ (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] должны найтись непересекающиеся окрестности [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ V(y) }[/math].

T₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] и её окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ V }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ x\in V\subset\bar{V}\subset U }[/math]. Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½: для любого замкнутого множества [math]\displaystyle{ F }[/math] и не содержащейся в нём точки [math]\displaystyle{ a }[/math] существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], заданная на этом пространстве, принимающая значения от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ 1 }[/math] на всем пространстве, причем [math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x }[/math], принадлежащих [math]\displaystyle{ F }[/math]. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½, а в определении вполне регулярного пространства не включает требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается.

T₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества [math]\displaystyle{ F }[/math] и его окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ V }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ F\subset V\subset\bar{V}\subset U }[/math] ([math]\displaystyle{ \bar{V} }[/math] — замыкание [math]\displaystyle{ V }[/math]). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁, а в определении нормального пространства не включается требование T₁.

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• [math]\displaystyle{ T_0 }[/math], [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома [math]\displaystyle{ T_1 }[/math]);
• из [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] следует [math]\displaystyle{ T_0 }[/math];
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев