Теорема Хана — Банаха

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

• Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
• Теорему о разделении выпуклых множеств;
• Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] и [math]\displaystyle{ p:X\to \mathbb R }[/math] — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства [math]\displaystyle{ Y }[/math] линейного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] каждый линейный функционал [math]\displaystyle{ f:Y\to \mathbb R }[/math], удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y }[/math], может быть продолжен на все пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] с сохранением этого неравенства.

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или супераддитивности функционала [math]\displaystyle{ p }[/math] для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: [math]\displaystyle{ X=\mathbb R }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\{0\} }[/math], [math]\displaystyle{ p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0 }[/math].

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда [math]\displaystyle{ p }[/math] — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала

Всякий линейный ограниченный функционал [math]\displaystyle{ f }[/math], определённый на линейном многообразии [math]\displaystyle{ Y }[/math] линейного нормированного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.

Доказательство

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть [math]\displaystyle{ z\in X\setminus Y }[/math]. Рассмотрим линейное пространство вида:

[math]\displaystyle{ Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}. }[/math]

Продолжение [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ Y_z }[/math] запишем:

[math]\displaystyle{ \tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tilde f(z) }[/math] — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных [math]\displaystyle{ y_1, y_2\in Y }[/math] и [math]\displaystyle{ a,b\gt 0 }[/math] выполняется:

[math]\displaystyle{ f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ {} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ {}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ \leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az). }[/math]

Отсюда

[math]\displaystyle{ a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right) }[/math]

Как следствие

[math]\displaystyle{ \frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b\gt 0. }[/math]

Определим [math]\displaystyle{ c\in \R }[/math] так

[math]\displaystyle{ \sup_{a\gt 0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant \inf_{a\gt 0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}. }[/math]

Выполняется равенство

[math]\displaystyle{ ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R }[/math].

Определим

[math]\displaystyle{ \tilde f(z)=c. }[/math]

Для всех [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] и произвольных [math]\displaystyle{ a\in \R }[/math] выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ \tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az), }[/math]

поэтому

[math]\displaystyle{ \tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z. }[/math]

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть [math]\displaystyle{ E }[/math] является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также

• Выпуклый функционал
• Банаховы пределы

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.