Сублинейная функция

Сублинейной функцией в математике называется функция [math]\displaystyle{ f: V \rightarrow \R }[/math] над действительным векторным пространством [math]\displaystyle{ V }[/math] (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

[math]\displaystyle{ f(\gamma x ) = \gamma f\left( x\right) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \gamma\in \mathbb{R}_+ }[/math] и всех x ∈ V (положительная однородность),

[math]\displaystyle{ f(x + y) \leqslant f(x) + f(y) }[/math] для всех x, y ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

[math]\displaystyle{ f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y) }[/math] для всех x, y ∈ V и [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \gamma \leqslant 1 }[/math].

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

[math]\displaystyle{ f(x + y) = 2 f \left( \frac {x + y}{2} \right) \leqslant 2 \left (\frac {1}{2}f(x)+ \frac {1}{2}f(y)\right) = f(x) + f(y). }[/math]

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция [math]\displaystyle{ f: V \rightarrow \R }[/math] является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

[math]\displaystyle{ f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y) }[/math] для всех x, y ∈ V и всех [math]\displaystyle{ 0 \lt \gamma, \delta }[/math].

Примеры

Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция [math]\displaystyle{ p(x) = |f(x)| }[/math], если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — линейная.
Длина вектора в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в [math]\displaystyle{ \R^n. }[/math]
Пусть M — пространство ограниченных последовательностей [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots). }[/math]

Функционал:

[math]\displaystyle{ f(x) = \sup_i |x_i| }[/math]

является сублинейным.

Свойства

[math]\displaystyle{ f(0) = 0. }[/math] Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если [math]\displaystyle{ f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V }[/math], тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

[math]\displaystyle{ 0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V }[/math]

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

Для любого [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right) }[/math]

При [math]\displaystyle{ \gamma \gt 0 }[/math] это следует из определения положительной однородности, при [math]\displaystyle{ \gamma = 0 }[/math] — из первого свойства, если же [math]\displaystyle{ \gamma \lt 0 }[/math], то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x) }[/math]

или:

[math]\displaystyle{ f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x). }[/math]

См. также

Теорема Хана — Банаха