Выпуклый функционал

Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.

Формально, функционал [math]\displaystyle{ p }[/math], определённый на линейном пространстве [math]\displaystyle{ L }[/math], называется выпуклым, если выполнено:

[math]\displaystyle{ p(\alpha x + \beta y) \le \alpha p(x) + \beta p(y)\ , \forall x, y \in L, \forall \alpha, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1 }[/math].

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — выпуклые функционалы, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• [math]\displaystyle{ (p+q)(x)=p(x)+q(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (\alpha p)(x)=\alpha p(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (p\vee q)(x)=\max (p(x),q(x)) }[/math]
• Инфимальная конволюция: [math]\displaystyle{ (p\oplus q)(x)=\inf_{y+z=x}(p(y)+q(z)) }[/math]

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программировании.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Выпуклый функционал — статья из Математической энциклопедии. В. М. Тихомиров

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.