Банаховы пределы

Линейный функционал [math]\displaystyle{ \mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*} }[/math] называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) [math]\displaystyle{ B(\mathbf{1})=1 }[/math]^{[Примечание 1]}

2) [math]\displaystyle{ B\ge 0 }[/math] для любых [math]\displaystyle{ x\geq 0 }[/math]

3) [math]\displaystyle{ B(Tx)=B(x) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x\in l_{\infty} }[/math] , где [math]\displaystyle{ T }[/math] — оператор сдвига, действующий следующим образом: [math]\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...) }[/math]

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом^[1]. Из определения следует, что [math]\displaystyle{ \|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n }[/math], если последовательность [math]\displaystyle{ x_1,x_2,... }[/math] сходится. Множество банаховых пределов обозначается как [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства [math]\displaystyle{ l_{\infty}^{*} }[/math]. Из неравенства треугольника следует, что для любых [math]\displaystyle{ B_1,B_2\in\mathfrak{B} }[/math] справедливо неравенство [math]\displaystyle{ \|B_1-B_2\|\le2 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_2 }[/math] являются крайними точками множества [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math], то [math]\displaystyle{ \|B_1-B_2\|=2 }[/math]^[2].

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если [math]\displaystyle{ B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ B_1(x)=B_2(x) }[/math] ^[3].

Доказательство

Если [math]\displaystyle{ B_1(u)\le B_2(u) }[/math] для какого-то [math]\displaystyle{ u\in l_{\infty} \quad u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \forall \lambda \gt 0 \quad u\ne 0 \quad B_1(\lambda u) \lt B_2(\lambda u) }[/math] . Возьмём [math]\displaystyle{ 0 \lt \lambda \lt \frac{1}{\|u\|} \quad\Rightarrow\quad 0 \le \lambda u \le \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{1}-\lambda u\ge 0 }[/math] , [math]\displaystyle{ B_1(\mathbf{1}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)\gt 1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathbf{1}-\lambda u) }[/math]

Получаем противоречие, которое доказывает лемму^[3].

Теорема 1

Функционал [math]\displaystyle{ f\in l_{\infty}^{*} }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ f=B_1-B_2 }[/math] ([math]\displaystyle{ B_1,B_2\in\mathfrak{B} }[/math]) тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ f(Tx)=f(x) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\in l_{\infty} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(\mathbf{1})=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2 }[/math]

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы [math]\displaystyle{ \|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2 }[/math] ^[3].

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

[math]\displaystyle{ g=\max(f,0)=\sup_{0\le u\le x}f(u)\quad g\in l_{\infty}^{*}\quad g\ge 0 \quad\forall x\le 0 }[/math]

Используя свойства 1.—3. получаем:

[math]\displaystyle{ g(\mathbf{1})=\sup_{0\le u\le \mathbf{1}}f(u)=\sup_{0\le u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\le \mathbf{1}}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\sup_{-\frac{1}{2}\mathbf{1}\le u\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} (f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\sup_{\left | u \right |\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} f(u)=\frac{1}{2}\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 1 }[/math] Для [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak{B} }[/math] справедливо, что [math]\displaystyle{ B_1=g+(1-\frac{\|f\|}{2})B\ge 0 \qquad B_1(Tx)=B_1(x) \qquad B_1(\mathbf{1})=1 }[/math],

значит [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] — банахов предел. То же самое верно для функционала [math]\displaystyle{ B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\|f\|}{2})B }[/math]. По построению [math]\displaystyle{ B_1-B_2=f }[/math]. Докажем единственность такого представления при [math]\displaystyle{ \|f\|=0 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ f=B_1-B_2 }[/math] при [math]\displaystyle{ \|f\|=0 }[/math].

[math]\displaystyle{ B_1=f+B_2 \quad B_2=f-B_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ B_1\ge 0 \quad B_1\ge 0 \Rightarrow B_1\ge f \quad B_2\ge f }[/math]
[math]\displaystyle{ B_1\ge \max(f,0) \quad B_2\ge \max(-f,0) }[/math]

Выше доказано, что [math]\displaystyle{ max(f,0)\in\mathfrak{B} }[/math], аналогичные рассуждения показывают, что [math]\displaystyle{ max(-f,0)\in\mathfrak{B} }[/math]. По лемме 1 получаем

[math]\displaystyle{ B_1=\max(f,0) \quad B_2=\max(-f,0) }[/math]

Теорема доказана^[3].

Понятие почти сходимости

Для заданных [math]\displaystyle{ a\in\R^1 }[/math] , [math]\displaystyle{ x\in l_{\infty} }[/math], для любых [math]\displaystyle{ \mathrm\Beta\in \mathfrak{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a }[/math]

равномерно по [math]\displaystyle{ m\in\N }[/math] ^[4]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом^[5]:

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le\lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k }[/math]

Последовательность [math]\displaystyle{ x\in l_{\infty} }[/math] называется почти сходящейся к числу [math]\displaystyle{ a\in\R^1 }[/math], если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны [math]\displaystyle{ a }[/math]. Используется следующее обозначение: [math]\displaystyle{ Lim\,x_k=a }[/math]. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение [math]\displaystyle{ ac }[/math]. [math]\displaystyle{ ac }[/math] — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в [math]\displaystyle{ l_{\infty} }[/math] . Множество почти сходящихся к числу [math]\displaystyle{ s }[/math] последовательностей обозначается как [math]\displaystyle{ ac_s }[/math]. Ясно, что [math]\displaystyle{ ac_s\subset ac }[/math] для любого [math]\displaystyle{ s }[/math] ^[3].

Пример

Последовательность [math]\displaystyle{ x=(1,0,1,0,...) }[/math] не имеет обычного предела, но [math]\displaystyle{ Lim\,x=\frac{1}{2} }[/math] . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: [math]\displaystyle{ x_k=1-x_{k+1} }[/math] .

[math]\displaystyle{ Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k }[/math]

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду ^[3].

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

[math]\displaystyle{ r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1] }[/math]

Каждому [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak{B} }[/math] можно поставить в соответствие функцию

[math]\displaystyle{ f_B(t)=B(r_n(t)) }[/math]

которая называется характеристической функцией банахова предела [math]\displaystyle{ B }[/math]. [math]\displaystyle{ f_B }[/math] — комплекснозначная функция^[6].

Теорема 2

Если [math]\displaystyle{ A,B\in\mathfrak{B} }[/math] и [math]\displaystyle{ f_A(t)\le f_B(t) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] , то [math]\displaystyle{ A=B }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\in l_{\infty} }[/math] ^[6].

Свойства характеристических функций

Пусть [math]\displaystyle{ A,B\in\mathfrak{B} }[/math] , тогда

[math]\displaystyle{ f_B(t) }[/math] периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]
[math]\displaystyle{ f_B(t)=f_B(\frac{t}{2}) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac }[/math] , что [math]\displaystyle{ B(x) = \lambda }[/math] для любого [math]\displaystyle{ B \in \mathfrak{B} }[/math] и [math]\displaystyle{ Im \, f_B = [-1,1] }[/math]
график [math]\displaystyle{ f_B }[/math] плотен в прямоугольнике [math]\displaystyle{ [0,1] \times [-1,1] }[/math]
[math]\displaystyle{ f_B(t)+f_B(1-t)=0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ t \in (0,1) }[/math]

^[6]

Источники

↑ Стефан Банах, 1932.
↑ E.Semenov and F.Sukochev.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Усачёв А.А., 2009.
↑ Lorentz G.G., 1948.
↑ Sucheston L., 1967.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв, 2010.

Примечания

↑ Здесь и далее под [math]\displaystyle{ \mathbf{1} }[/math] понимается последовательность [math]\displaystyle{ (1,1,1,...) }[/math]

Литература

Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)

[_a2fa2cab373172a3-2] Стефан Банах, 1932.

[_05309b0ac77ef3a4-3] E.Semenov and F.Sukochev.

[_998169bb03aa0411-4] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Усачёв А.А., 2009.

[_ebfa92e5511610e7-5] Lorentz G.G., 1948.

[_e41dd02cc7a60b20-6] Sucheston L., 1967.

[_a49f1e8135e247fb-7] 6,0 ^6,1 ^6,2 Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв, 2010.

[единица-1] Здесь и далее под [math]\displaystyle{ \mathbf{1} }[/math] понимается последовательность [math]\displaystyle{ (1,1,1,...) }[/math]

[Примечание 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]