Полунорма

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется неотрицательная функция [math]\displaystyle{ p\colon L \to\R }[/math], в линейном пространстве [math]\displaystyle{ L }[/math] над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: [math]\displaystyle{ p(\alpha x)=|\alpha|p(x) }[/math] для любого скаляра [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]
2. Неравенство треугольника: [math]\displaystyle{ p(x+y) \leqslant p(x)+p(y) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x, y \in L }[/math]

Пространство [math]\displaystyle{ {(L,\; p)} }[/math] называется полунормированным пространством.

Свойства

• [math]\displaystyle{ p(0)=0 }[/math]

Это свойство следует из первого условия определения и равенства [math]\displaystyle{ 0_{\R} \cdot 0_L = 0_L }[/math], здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству [math]\displaystyle{ L }[/math]:

[math]\displaystyle{ p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R }[/math] (где [math]\displaystyle{ 0_L = 0_\R \cdot 0_L }[/math] следует из линейности [math]\displaystyle{ L }[/math])

• [math]\displaystyle{ p(x)=p(-x) }[/math]

Это свойство также получается из первого условия при [math]\displaystyle{ \alpha = -1 }[/math].

• [math]\displaystyle{ p(x) \geqslant 0 }[/math]

Если предположить существование такого [math]\displaystyle{ x^* }[/math], что [math]\displaystyle{ p(x^*) \lt 0 }[/math], то из первого условия определения следует, что и [math]\displaystyle{ p(-x^*) \lt 0 }[/math]. Воспользовавшись вторым условием, [math]\displaystyle{ p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) \lt 0 }[/math] получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.