Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ A:X\rightarrow Y }[/math], действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ([math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал^[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается [math]\displaystyle{ L(X,Y) }[/math].

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства

Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.^[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора [math]\displaystyle{ A\in L(X,Y) }[/math] совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор [math]\displaystyle{ A^{-1}\in L(Y,X) }[/math] (т.н. теорема об обратном операторе).
Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то [math]\displaystyle{ L(X,Y) }[/math] также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и [math]\displaystyle{ L(X,Y) }[/math] является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор [math]\displaystyle{ A\in L(X,Y) }[/math] будет вполне непрерывным оператором, область его значений [math]\displaystyle{ R(A) }[/math] будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор [math]\displaystyle{ A:X\rightarrow Y }[/math], действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] точек X, из [math]\displaystyle{ x_n\rightarrow x_0 }[/math] следует [math]\displaystyle{ A x_n\rightarrow Ax_0 }[/math].

Пусть ряд [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty x_n=s }[/math] сходится и [math]\displaystyle{ A:X\rightarrow Y }[/math] — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty Ax_n=As }[/math].

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если [math]\displaystyle{ x_n\to x }[/math] слабо, то [math]\displaystyle{ Ax_n\to Ax }[/math] слабо.

Связанные определения

Линейный оператор называется ограниченным снизу, если [math]\displaystyle{ \exist k\gt 0,\forall x\in X, \|Ax\|\geq k\|x\| }[/math].

См. также

Сопряжённый оператор

Литература

Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

Примечания

↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
↑ Также, в конечномерном пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] с базисом [math]\displaystyle{ \{x_k\}_{k=1}^n }[/math], линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ Ax=f_1(x)x_1+f_2(x)x_2+\cdots+f_n(x)x_n,\forall x\in X }[/math], где [math]\displaystyle{ f_k\in X^* }[/math] — функции из сопряжённого пространства.

[1] Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.

[Naimark-2] Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.

[3] Также, в конечномерном пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] с базисом [math]\displaystyle{ \{x_k\}_{k=1}^n }[/math], линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ Ax=f_1(x)x_1+f_2(x)x_2+\cdots+f_n(x)x_n,\forall x\in X }[/math], где [math]\displaystyle{ f_k\in X^* }[/math] — функции из сопряжённого пространства.

[1]

[2]

[3]