Ограниченность
Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.
Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ B \subset \R }[/math], для которого существуют числа [math]\displaystyle{ m, M \in \R }[/math] такие, что для любого [math]\displaystyle{ x }[/math] из [math]\displaystyle{ B }[/math] имеет место: [math]\displaystyle{ m \leqslant x \leqslant M }[/math], иными словами, [math]\displaystyle{ B }[/math] целиком лежит в отрезке [math]\displaystyle{ [m, M] }[/math]. Числа [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] называются в этом случае нижней и верхней границей множества [math]\displaystyle{ X }[/math] соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.
Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] (где [math]\displaystyle{ a, b }[/math] — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел [math]\displaystyle{ \Z }[/math] — неограниченно; множество [math]\displaystyle{ \N }[/math] натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.
Ограниченная числовая функция — функция [math]\displaystyle{ f \colon D \to \R }[/math], область значений которой [math]\displaystyle{ f(D) }[/math] ограниченна, то есть существует такое [math]\displaystyle{ m }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет место неравенство [math]\displaystyle{ |f(x)| \leqslant m }[/math]. В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность [math]\displaystyle{ (a_i) }[/math], для которой существует [math]\displaystyle{ m \in \R }[/math] такое, что для всех [math]\displaystyle{ i \in \N }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ |a_i| \leqslant m }[/math].
Обобщения
Обобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка).
В топологическом векторном пространстве [math]\displaystyle{ E }[/math] над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] ограниченным считается всякое множество [math]\displaystyle{ B }[/math], поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое [math]\displaystyle{ \alpha \in k }[/math], что [math]\displaystyle{ B \subset \alpha U_0 }[/math]. Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.
В случае произвольного метрического пространства [math]\displaystyle{ (M, d) }[/math] ограниченными считаются множества конечного диаметра, то есть [math]\displaystyle{ B \subseteq M }[/math] ограниченно, если [math]\displaystyle{ \mathrm{sup} \{ d(x, y) \mid {x,y \in B} \} }[/math] конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.
Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте, и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.
Литература
- Ограниченное множество — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский